1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 125 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B） 2（C） 3（D）32 已知 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1 +B1 )1 等于 ( )（A）A+B（B） A1 +B1（C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 13 设 若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定4 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 A=1， 2， 3， 4， 5= 则 ( )（A）
2、 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A 1 B 1 正确命题的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A 是 n 阶矩阵，则 = ( )（A）(2) n A n（B） (4A) n（C） (2) 2nA * n（D）4A n7 设 1=1，0 ，1 T， 2=1，1，1 T， 3=1，1，1 T； 1=3，0，1T， 2=2，0，0
3、T， 3=0，2，2 T 是 R3 的两组基若向量 在基 1， 2， 3 下的坐标为1 ，2，0 T，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为 ( )（A）1，3，3 T（B） 1，3，3 T （C） 1，3，3 T（D）1，3，3 T8 下列矩阵中能相似于对角矩阵的矩阵是 ( )二、填空题9 设 则 A1 =_10 设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2+2A=0 ，2A 2+A=0，则 A*的特征值是_11 设 n2 为正整数，则 An2A n1 =_12 已知非齐次线性方程组 A 34=b 有通解 k11，2，0，2T+k24，1，1，1 T+1，0，1，1T ，则满足方程组 且满足条
4、件x1=x2， x3=x4 的解是_ 13 若二次型 f(x 1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x22x 2x32ax 1x3 的正、负惯性指数都是 1则 a=_14 设 n 阶行列式 则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 a1，a 2，a 2 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解16 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵(1)计算并化简 PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是TA1 b17 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的
5、一般形式18 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A3E的值19 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵20 已知 1=1，2，3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，3，6，3 T， 4=2，一 1，3，a T问： (1)当 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关； (2)当 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)当 a 为何值时， 4 能由 1， 2， 3线性表出，并写出它的表出式21 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X
6、都有 Ax=0，证明：A=O22 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围23 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+3 (1)证明 ，A，A 2 线性无关； (2)若 A3=A，求秩r(AE)及行列式A+2E23 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a 2T0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=224 求 A 的特征值和特征向量；25 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=A26 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同27 设齐次
7、线性方程组 有基础解系1=b11，b 12，b 13，b 14T， 2=b21，b 22，b 23，b 24T，记 1=a11，a 12，a 13，考研数学一（线性代数）模拟试卷 125 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 行展开：其中第1，3，4 项都没有 x3 出现，所以只分析第 2 项又因为第 2 项的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x2 项，所以行列式展开式含 x3 项的系数是2由行列式展开定理知，只有 a12A12 这一项有可得到x3 项，又 a12A12= =x(x1)(2x+1)=2x 3+所以行
8、列式中 x3 项的系数就是 2故应选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 验算 (A 1 +B1 )A(A+B)1 B=(E+B1 A)(A+B)1 B =B1 (B+A)(A+B)1 B=B1 B=E， 故 (A 1 +B1 )1 =A(A+B)1 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则A=0，即得a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只需将 i 视为非齐次方程的右端自由项(无论它原来在什么位置)，有关向量留在左端
9、，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由 Ab 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B故 P1 A2P=B2，P TAT(PT)1 =BT，P 1 A1 P=B1 ， 所以A2B 2，A TB T，A 1 B1 又由 A 可逆，可知 A1 (AB)A=BA，故ABBA故正确的命题有 4 个，选 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 =(2) 2nA *A =4 nA n=(4A) n【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 在 1， 2，
10、 3 下的坐标为x 1，x 2，x 3T，由题设可得故 在 1， 2， 3 下的坐标为 1，3，3 T应选 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项中的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角矩阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1 有两个线性无关特征向量对 C 而言，因可有两个线性无关特征向量，故 C 可相似于对角矩阵，而 r(EA)=r(EB)=r(ED)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2得 A 22A=A(A2E)3E
11、，故【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2=6， 3=1【试题解析】 AA+2E0，因A=3，则 A+2E=0 ，故 A 有特征值1=2又 因A=3= 123，故3=3A=，A *A=A*，A *= 故 A*有特征值2=6， 3=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2= =2A，知An=2An1 ，A n2A n1 =O【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2，2，1，1 T【试题解析】 方程组的通解为由题设x1=x2， x3=x4 得 解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足及 x1=x2，x 3=x4 的解为2，2，1，1 T【知识模块】 线性代数
12、13 【正确答案】 一 2【试题解析】 二次型 f 的矩阵 已知正惯性指数 p=1，负惯性指数 rp=1所以矩阵 A 的秩 r(A)=r=2，有 A= (a1) 2(a+2)=0， a=1 或 a=2当 a=1 时，r(A)=1 ，不合题意，舍去当 a=2 时，r(A)=2 ，且 A 的特征多项式EA= =(3)(+3) ，A 的特征值 1=3， 2=3， 3=0故二次型 f 的规范形为 f=y12y 22其正惯性指数 p=1，负惯性指数 rp=1符合题意，故 a=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 将 Dn 按第一行展开，=2Dn1 D n2 ，得 DnD n1 =Dn
13、1 D n2 (n=3，4，72)，故数列D1，D 2，D n 是等差数列，其中 D1=2，D 2= =3，公差 d=D2D 1=1故D2=D1+1=2+1，D n=Dn1 +1=n+1，【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因 a1，a 2，a 2 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且其中，A i是 b 代换A中第 i 列所得的行列式，有 A 1= A，A i=0，i= ，3，n故 AX=b 的唯一解为X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1) (2)由(1)得P
14、.Q= PQ=A 2(B TA1 ) Q =A (B TA1 )所以 Q 可逆Q0 TA1 b【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 线性方程组有解 r(A)=r(B)+1=0=1，其通解为 k 为任意常数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 3 为 A3E 的特征值所以 A3E的特征值为1，1，3，2n3，故A 一 3 =(1)13(2n3)=(2n3)!【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设有，a ij=Aij，则 A*=AT，即 AA*=AAT=AE两边取行列式，得A 2=A n，得A 2(A n2 1)=0因 A 是非零矩阵，设aij0，则 A
15、按第 i 行展开有 从而由A 2(A n2 1)=0 ，得A=1，故 AA*=AAT=AE=E，则 A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1， 2， 3 ， 4=(1)当 a=4 或 a=12 时，1， 2， 3 ， 4 线性相关； (2)当 a4 且 a12 时， 1， 2， 3 ， 4 线性无关；(3)当a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因对任何 X 均有 AX=0，故有 Aei=0，i=1 ，2，n，合并成分块矩阵，得Ae 1，Ae 2， ，Ae n=Ae1，e 2，e n=AE=A=O【知识模块】
16、线性代数22 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，两端左边乘B，得 B2=E=B=2， ( 21)0 ， 故 =1，或 =1，B 的特征值的取值范围是1 ， 1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0，由题设有 Ai=ii(i=1，2，3)，于是 A=A1+A2+A3=11+22+33， A 2=121+222+323，代入(*)式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0 因为 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 必有 k
17、1=k2=k3=0，故 ，A，A 2 线性无关(2)由A3=A 有 A，A ，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A= ，A，A 2令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 (E+ T)= 式两端左边乘 T 得， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则 =1+T=3；若 T=0，则由 式，得 =1当 =1 时，(EA)X= TX= b1，b 2，b nX=0，即b1，b 2，b nX=0，因 0，0 ，设 b10，则 1=b2，b 1，0，0T， 2=b3，0，b 1，0 T， n1 =bn，0，0，b 1
18、T； 当 =3 时， (3EA)X=(2E T)X=0， n=a1，a 2，a nT【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 取 P=1， 2， n1 ， n= 则【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 B1=C1TA1C1因为A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 B2=C2TA2C2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由题设条件： 1， 2 线性无关， r(1， 2)=2， 1， 2 线性无关，且 1， 2 是方程组的解，满足 iTj=0(i=1，2，j=1，2) (*) 用线性无关定义证 设有数 k1，k 2，k 3，k 4，使得 k11+k22+k31+k42=0， (*)两端左边乘 iT(i=1，2)，且利用(*)式得(*)式看作以数 k1，数 k2 为未知数的方程组，则系数矩阵为=1， 2T1， 2由 r(A)=r(ATA)及 1， 2线性无关，有 方程组(*)只有零解，从而得 k1=k2=0将 k1，k 2 代入(*) 式，因 1， 2 线性无关，得 k3=k4=0，从而得证 1， 2， 1， 2 线性无关【知识模块】 线性代数
