1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题(I)的解必是(II)的解；()的解必是(I) 的解；(I)的解不一定是()的解； ()的解不一定是(I)的解其中，正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）2 n 维向量组 a1，a 2，a s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 ka，k 2，k s，使 k1a1+k2a2+ksas=0（B） a1，a 2，a s 中任意两个向量都线性无关（C） a1，a
2、 2，a s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 ka，k 2，k s，使 k1a1+k2a2+ksas=03 设有两个 n 维向量组(I) 1， 2， s，( ) 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， s， 1， 2，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(k2+1)1+(k1一 1)1+(ks 一 s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关（B） 1， s，及 1， ， s，均线性无关（C） 1， s 及 1， ， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性
3、无关4 已知向量组(I) 1,2,3,4 线性无关，则与(I) 等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1 2， 2 3， 3 一 4， 4 1（C） 1+2， 2 3， 3+4， 4 1（D） 1+2， 2 3， 3 4， 4 一 15 设向量组(I) 1， 2， s 线性无关，( ) 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， i(i=1，2，t) 不能由(I)1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都
4、不对6 已知 n 维向量组 1,2 s 线性无关，则向量组 1,2 s可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量7 设 则 ( )（A）存在 aij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相
5、关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关8 已知 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零9 向量 N(1)1,2 s，其秩为 r1,向量组( ) 12 s，其秩为 r2，且i，i=1，2，5 均可由向量组(I) 1,2 s
6、 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， +22， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1r 2（C） 1,2 s， 12 s 的秩为 r1+r2（D） 1,2 s， 12 s 的秩为 r110 已知 r(A)=r1，且方程组 Ax= 有解 r(B)=r2，=R(B)=R 2 无解，设A=1， 2， N，B= 12 n，且 r(1,2 n， 12 n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+111 已知向量组 1,2,3,4 线性无关，则向量组21+3+4， 2 3， 3+4
7、， 2+3，2 1+22+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）412 设 n 阶(n3)矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C） -1（D）二、填空题13 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_14 方程组 的通解是_15 方程组 有解的充要条件是_16 设线性方程组 有解，则方程组右端 =_17 已知非齐次线性方程组 A34X=b 有通解 K11，2，0，一 2T+K24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_18 已知 4 阶方阵 A=1,2,3,4， 1
8、,2,3,4 均为 4 维列向量，其中 1,2 线性无关，若 =1+22 一 3=2+22+3+4=1+32+3+24，则 Ax= 的通解为_19 设 B 是 3 阶非零阵，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_20 已知一 2 是 的特征值，其中 b0 是任意常数，则x=_21 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_22 设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E =0，则A+4E=_23 设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2+2A=0 ，2A 2+A=0，则 A*的特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设有两
9、个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT24 计算 ABT 与 ATB；25 求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)；26 设 C=EABT，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C TC=E 一 BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=127 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n28 证明：r(A+B)r(A)+r(B)29 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O30 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是
10、：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即31 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵32 证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 133 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算：(1)A； (2)An； (3)A -134 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵， 且E+AB 是不可逆的对称阵，求 A考研数学一
11、（线性代数）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故(I) 的解必是()的解，也即正确，错误当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 X，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解，故正确，错误故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法
12、证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由 1,2 s-1 线性表出，则 1,2 s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1,2 s 线性相关 至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1,2 s 线性无关 A 对任何向量组都有01+02+0 s=0 的结论B 必要但不充分，如 1=0，1，0 T， 2=1，1，0T， 3=1，0， 0T 任两个线性无关，但 1,2,3 线性相关 D 必要但不充分如上例 1+2+30，但 1,2,3 线性相关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1,k2,，k s， 1，
13、 2， n 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2 一 2)2+(ks 一 s)s=0，整理得k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一 2)+ s(s 一 s)=0，从而得 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因 A1+2 一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0；B( 1 一 2)+(2 一 3)+(3一 4)+(4 一 1)=0；C( 1+2)一( 2 一 3)一( 3+4)+(4 一 1)=0，故均线性相关，而故 1+2， 2
14、一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可(1)取线性无关，且显然不能相互线性表出，但4 个 3 维向量必定线性相关；(2)取 线性无关，且显然不能相互线性表出，且 4 个向量仍然线性无关由(1)，(2)知，应选C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关A，B 属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，D 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 由
15、 知向量组1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性无关因 1,2,3 线性相关，故 A，B 不成立，因2,3,4 线性无关，故 C 成立，D 显然不成立【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选 B，而 A，C，D 均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 设 1,2 s 的极大线性无关组为 1,2 r1 则i(i=1， 2，S) 均可由 1,2
16、 r1 线性表出，又 (=1，2，s)可由(工)表出，即可由 1,2 r1 线性表出，即 1,2 r1，也是向量组1,2 s， 12 s 的极大线性无关组，故 r(1,2 s， 12 s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r(1,2 n，)=r 1，r( 12 n，)=r 2+1，故r(1,2 n， 12 n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 易知1， 2， 3 无关， 4=2+3， s=1+2故 r(1， 2， 3， 45,)=3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 因【
17、知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 1=1，一 1，0，0，0 T， 2=1，0，一 1，0，0T， 3=1，0，0，一 1，0 T， 4=1，0，0，0，一 1T【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k1，1，1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 使方程组有解，即当 其中k1,k2,k3 是任意常数，方程组有解，即k 1,k2,k3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2，2，一 1，一 1T【试题解析】
18、方程组的通解为 由题设 x1=x2，x 3=x4得 解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足 及 x1=x2，x 3=x4 的解为2 ，2，一 1，一 1T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 ,k1，k 2R【试题解析】 = 1+22-3=1+2+3+4=1+32+3+24 可知均为 Ax=0的解由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1一 2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1一 2， 2 一 3 即为 Ax
19、=0 的基础解系故 Ax= 的通解为【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 k-1 ，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=0，且 B0，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1当 a=1 时，求得Ax=0 的基础解系为一 1，1，0 T，因此通解为 k-1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 一 4【试题解析】 由E 一 A=一 2EA=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 0(n 一 1 重根)，n(单根)【试题解析】 故 =0(n-1 重特征值 )，=n( 单根)【知识模
20、块】 线性代数22 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+ZE =A+3E =0，知 A 有特征值=一 1，一 2，一 3，A+4E 有 =3，2，1，故A+4E=6【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 AA+2E=0，因A=3 ，则A+2E=0，故 A 有 1=一2 因A=3= 123故 3=3故 A*有特征值【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 ABT 各行( 或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1,【知识
21、模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 CTC=(E 一 ABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(EABT)=E 一 BAT一 ABT+BATABT，故若要求 CTC=E-BAT 一 ABT+BBT，则 BATABT-BBT=O，B(A TA 一 1)BT=O，即(A TA 一 1)BBT=O因为 BO，所以 BBTO故CTC=E-BAT 一 BBT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 注意到当 B 有一个t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 O，因此 故 r(AB)r(A)+r(B)
22、-n特别地，当 AB=O 时，有 r(AB)=0r(A)+r(B)n,【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 A=1,2 n，B= 12 n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量组 1,2 n， 12 n 线性表出的，故 r( 1+1， 2+2， n+n)r(1,2 n， 12 n). 又由于 r(1,2 n， 12 n)r(1,2 n)+r(12 n)，故 r(A+B)=r( 1+1， 2+2， n+n) r(1,2 n， 12 n) r(1,2 n)+r(12 n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数29 【正
23、确答案】 充分性 A=0，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设记 B=AAT，则即 A=O【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 且 A 是正交矩阵 (1)AAT=E，A，A T 互为逆矩阵，有 ATAE，故(2)AAT=E，即【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=AE两边取行列式，得A n=A n，得A 2(A n-2 一 1)=0因 A 是非零阵，设 aij0，则A按第 i 行展开有 从而由A 2(A n-2 一 1)=0，得A=1，故 AA*=AAT=AE=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数32
24、 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵 AAT=EA=1若A=1，则AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij；若A =一 1，则AA*=AE=一 E，A(一 A*)=E，而已知 AAt=E，从而有一 A*=AT，即 aij=一Aij充分性 A=1 且 aij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=AE=E，A 是正交阵，A= 一 1，且 aij=一 Aij 时，一 A*=AT，AA *= AE=一 E，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T) T=O故 An=E+nT(3)A 2=(E+T)=E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2TE=2AE2AA 2=E，A(2E-A)=EA -1=2EA=E 一 T【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 设 ，因(E+AB)T=(E+AB)故有 b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有，从而得其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数
