1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 131 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶方阵，x 是任意的 n 维列向量，B 是任意的行阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=O=A=O（B） BTAB=O=A=O（C） Ax=0=A=O（D）x TAx=0=A=O2 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=A E（B） (A*)TA*=A *E（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=E3 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组21+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 (
2、)（A）（B） 2（C） 3（D）44 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，1 2（C） 2，4，6（D）8，16，245 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）如果A0，则E0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 A E，则E0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B6 向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组( ) 1， 2， s，其秩为 r2，且i(i=1， 2， ，s)均可由向量组 () 1， 2， s 线性表出，则必有 (
3、 )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1r 2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r17 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x
4、32=4x1x2+4x1x38x 2x3 的规范形是 ( )（A）z 12+z22+z32（B） z12z 22z 32（C） z12z 22（D）z 129 设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )（A）Ax=0；A 2x=0 （B） A2x=0；A 3x=0（C） A3x=0；A 4x=0（D）A 4x=0；A 5x=0二、填空题10 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，则C=_11 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_12 已知向量组 与向量组等秩，则 x=_13 已知 =a，1，1T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，那么
5、a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式15 已知对于 N 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0证明矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)16 已知 1=1，1，1 T， 2=1，t，1 T， 3=t，1，2 T，=4，。，一 4T，若 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式17 已知 =1，k，1 T 是 A1 的特征向量，其中 求 k 及 所对应的 A 的特征值18 设(2EC 1 B)AT=C1 ，其中 B 是 4 阶单位矩阵， AT 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，且 求 A19 设向量组
6、1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s1 =s1 +s， s=s+1 讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性20 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A s 线性相关证明：A 不可逆21 已知 1=3，2，0 T， 2=1，0，2 T 是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c22 已知方程组() 与方程组()是同解方程组，试确定参数 a，b，c 23 设矩阵 且A=1 ，A 的伴随矩阵 A*有特征值0，属于 0 的特征向量为 =1，1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值24 设 A 为 m
7、 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵证明：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n24 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维列向量， 10，满足A1=21，A 2=1+22，A 3=2+2325 证明 1， 2， 3 线性无关；26 A 能否相似于对角矩阵，说明理由考研数学一（线性代数）模拟试卷 131 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 x，有 xTAx=0，可推出 AT=A，但不能推出 A=O例对任意的 x=x1，x 2T，均有但【知识模块】 线性代数
8、2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 是正交矩阵，所以有 A1 =AT= A*(A*)T=A A T(AA T)T=A 2ATA=E【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)(1， 2， 3， 4， 5) 易知 1， 2， 3 线性无关，又 4=2+3， 5=1+2，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=3【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 (i=1，2，3)，其中 A= 123， I(i=1，2，3)是 A 的特征值，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，
9、12【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B1 B=E，可见 B 中命题成立A E的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故 B0，可见 C 中命题也是成立的矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知 D 中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是 A 中的命题事实上，当 A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B0故选 A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， s，
10、s 的极大线性无关组为 1， 2， r1，则j(j=1，2，s)均可由 1， 2， r1 线性表出，又 i(i=1，2，s)可由()表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除 A，B 当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选 D【知识模
11、块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 用配方法化规范形 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x324x 1x2+4x1x38x 2x3=(x 12x2+2x3)2， f 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，故选 D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 方法一 显然，若 Aix=0，两端左边乘 A，得Ai+1x=0，i=1，2，3，4反之，若 Ai+1x=0，是否有 Aix=0 呢?取A4=O取 x=0，0，0，1 T，有 A4x=0，但 A3x0C 不成立取 x=0，0，1，0 T，有A3x=0，但 A2x0B 不成立取 x=0，1，0，0 T，有
12、A2x=0，但 Ax0A 不成立由排除法，应选 D方法二 证明 D 成立由方法一易知 A4x=0=A5x=0，现证 A5x=0=A4x=0 用反证法设 A5x=0，但 A4x0因x，Ax，A 2x，A 3x，A 4x，五个 4 维向量必线性相关，故存在不全为零的数ko，k 1， 2，k 3，k 4，使得 k0x+k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0 (*) (*)式两端左边乘A4，得 k0A4x+k1AA5x+k2A6x+k3A7x+k4A8x=0=k0A4x=0 因 A4x0，则 k0=0将k0=0 代入(*)式，得 k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0 (*) 同理
13、可证得k1=0，k 2=0，k 3=0，k 4=0这和已知五个 4 维向量线性相关矛盾故A5x=0=A4x=0故 A5x=0A4x=0D 是同解方程组，应选 D【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 =(1) mnAB=( 1)mnab【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A *=0，r(A *)=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2， 3= 知r(1， 2， 3)=2由题设知，r( 1， 2， 3)=2因 1， 2， 3=故 x=1
14、【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 501【试题解析】 设 是矩阵 A1 属于特征值 0 的特征向量，由定义有 A1 =0，于是 =0A，即【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 按第一行展开，有 D5=(1x)D 4+xD3，可得递推公式 D5D 4=x(D 4D 3)=x 3(D2D 1)由于D2= =1x+x 2，D 2=1x，于是得 容易推出D5=x 5+x4 x3+D2=x 5+x4x 3+x2x+1 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 E=EA k=EkA k=(EA)(E+A+A k1 )，所以 EA 可逆，且 (E
15、A) 1 =E+A+Ak1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为对增广矩阵进行初等行变换得由条件知 从而 t=4，此时，增广矩阵可化为方程组(*)的通解为 kR所以 =3k 1+(4k) 2+k3，kR【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由题设有 A1 =， 是 A1 的对应于 的特征值，两端左边乘A，得 =A，A 1 可逆， 0，由对应分量相等，得得 2+2k=k(3+k)，k 2+k2=0 ，得 k=1 或 k=2 当 k=1 时，=1， 1，1 T，=4 ； 当 k=2 时，=1，2， 1T，=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案
16、】 由(2E C1 B)AT=C1 ，有 A=E(2CB) t1 =【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方法一 设 x11+x22+xss=0，即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs1 +xs)s=0因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数行列式 当 s 为奇数时，A=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， ， s 线性无关；当 s 为偶数时，A=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， ， s 线性相关方法二 显然1， 2， s=1， 2， s=1， 2， sKss，因为 1， 2， s 线性无关，则 r( 1， 2， s)minr(1， 2， s)，r(K)=r(K)
17、 r(K)=sK=1+(1) s+10=当 s 为奇数时，两向量组等价，r( 1， 2， s)=s，则向量组 1， 2， s 线性无关； r(K)K=1+(1) s+1=0=当 s 为偶数时，r(1， 2， s)s，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+Kss)=A=0 其中 =k11，k 12，k ss，因已知 1， 2， s 线性无关，故对任意不全为零的数 k1，k 2，k s， 有 =k 11，k 12，k
18、 ss0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0 ，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对应齐次方程组有解 = 1 2=2，2，2 T 或1，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(Ab)2 ，从而 r(A)=r(A b)=2，故方程组有通解 k1， 1，1 T+3，2，0 T，其中 k 为任意常数将 1， 2 代入第一个方程，得 3a+2b=2，a2c=2，解得 a=22c，b= 23c ，c 为任意常数，可以验证：当 a=22c，b= 23c，c 任意时， r(A)=r(A b)=2【知识模块】 线
19、性代数22 【正确答案】 对方程组()，因增广矩阵为知其通解为 k1，2，1，1T+1，2，1，0 T=1k，2+2k，1k，k T，k 为任意常数 将通解代入方程组()，有 当a=1，b=2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为可知 r(B)=r(B)=3，故方程组()和( )是同解方程组【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A *=0，两端左边乘 A，得 AA*=A = 0A即由，解得 0=1，代入 ，得 b=3，a=c 由A =1，a=c，b=3，有 =a3=1得 a=c=2，故 a=2，b= 3，c=2 ， 0=1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵则
20、 B TAB 为正定矩阵 x0，x T(BTAB)x0(Bx) TA(Bx)0 Bx0r(B)=n【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设条件，得 (A2E) 1=0，(A2E) 2=1，(A 2E) 3=2 对任意常数 k1，k 2，k 3，令 k 11+k22+k33=0 式两端左边乘 A2E，得k21+k32=0； 式两端左边乘 A2E，得 k31=0 因 10，故 k3=0，代回 式，得 k2=0，代回 式得 k1=0 故 k 11+k22+k33=0=k1=k2=k3=0， 得证 1， 2， 3线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由第一小题知 (A2E) 1， 2， 3=1， 2， 3 故 A1， 2， 3=1， 2， 31， 2， 3B因1， 2， 3 线性无关，故 C=1， 2， 3是可逆矩阵，则 C1 AC=B，即 AB 又B 有三重特征值 1=2=3=2，但r(2E B)=2，(2EB)x=0 只有一个线性无关解向量，故 B 不能相似于对角矩阵 A 由相似关系的传递性知， A 不能相似于对角矩阵 A【知识模块】 线性代数
