1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶方阵，A，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(Ab) ，r(B)任意（B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） A0，b 可由 B 的列向量线性表出（D）B0，b 可由 A 的列向量线性表出2 设 1,2,3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )（A）（B）（C）（D）3 设
2、 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1,2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1,2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1,2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1,2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1,2 对应分量必不成比例4 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a一 4（C） a一 3（D）a一 3 目 a一 45 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为
3、 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似6 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量7 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，
4、6（D）8，16，248 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能9 已知 1， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 一 2（D） 1+210 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，一 2T二、填空题11 已知 =1，3，2 T，=1，一 1，一
5、2T，A=E 一 T，则 A 的最大特征值为_12 已知 则 r(AE)+r(2E+A)=_13 设 A 是 3 阶矩阵, 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_。14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求齐次线性方程组 ，的基础解系16 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式17 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解18 设四元齐次线性方程
6、组(I)为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k10，1 ，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T(1)求线性方程组(I)的基础解系；(2) 问线性方程组(I)和( )是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由19 设 1， 2， t 和 a， 2， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关19 已知 1=1，2，一 3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，一 3，6，3T， 4=2，一 1，3，a T问：20 a 为何值时，向量组 1,2,3,4 线性
7、相关；21 a 为何值时，向量组 1,2,3,4 线性无关；22 a 为何值时， 4 能由 1,2,3 线性表出，并写出它的表出式23 已知 问 取何值时，(1) 可由1,2,3 线性表出，且表达式唯一；(2) 可由 1,2,3 线性表出，但表达式不唯一；(3) 不能由 1,2,3 线性表出24 设向量组 1=a11,a21an1T， 2=a12,a22an2T， s=a1s,a2sansT证明：向量组 1,225 已知 1,2 s 线性无关， 可由 1,2 s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1,2 s， 中任意 s 个向量线性无关26 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关
8、， i=i+ti+1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关26 设 A 是 33 矩阵， 1,2,3 是三维列向量，且线性无关，已知A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+227 证明：A 1，A 2，A 3 线性无关；28 求A29 已知 A 是 n 阶矩阵， 1,2 s 是 n 维线性无关向量组，若 A1,A2A s 线性相关证明：A 不可逆考研数学一（线性代数）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)=r(Ab) ，r(B) 任意(BY=0 总有解，至少有零解，其余均错)【知识模
9、块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除 A，B 当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 1,2,3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知 a5故应选 AB：A 与 J 石 I 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于 C：A
10、与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B，则 tE 一 B=tE 一P 一 1AP 一 1(tE)PP 一 1AP=P 一 1(tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选 D对于 A：E 一 A=EBA=B；对于 B：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于 C：A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 (1)矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故 A 错误(2)假设 为
11、 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 A=A *A=A*A *=A -1但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A *=0，此时，任意 n维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知B 错误 (3)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A2=A(A)=A=*但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如 假设 A 1=1， A2=一 2，其中 1， 20 此时有 A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2
12、为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和历+尼不是 A 的特征向量故 C 错误(4) 若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 ，因此 为 A 的特征向量可知 D 是正确的故选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 ，其中A= 123， i 是 A 的特征值，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，
13、例如：是三重特征值【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 一 20，且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 2=(1 一 2)，故 1 一 2 是特征向量而 A1，B 2D1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 因 故 2 是 A 的对应于 =2 的特征向量其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中tr(T)=T
14、=一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 存在可逆阵 P，使得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A1=2，A 3=3，合并成矩阵形式有A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3，= 1， 2， 3， 1， 2， 3，线性无关， 1， 2， 3，是可逆阵，故 A=1， 2， 3， 1， 2， 3一 1=E【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 f 正定，A 的顺序主子式0，即取公共部分，知 t 的取值范围是【知识模块】 线性代数三、解
15、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 则方程组的解为令 得方程组的基础解系 1=一 1，1，0，0，0T， 2=一 1，0，一 1，0，1 T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 x=一 k20，1，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T=k2一 1，1，1，1 T=k-1，1，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 “”由 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关，知存在k1，k 2，k s，l 1，l 2，l s 不全为零，使得k11+k
16、22+ktt+l11+l22+lss=0令 =k11+k22+ktt，则 0( 否则k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 全为 0)，且 =l 11l 22 一一 lss，即一 个非零向量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 Ax=0 和Bx=0 有非零公共解 “”若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则考=k11+k22+ktt 且 =一 l11l22l ss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0从而 1， 2， t， 1， 2， s
17、 线性相关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 故(1)a=4 或 a=12 时， 1,2,3,4 线性相关；【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (2)a4， a12 时， 1,2,3,4 线性无关；【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (3)a=4 时， 4 可由 1,2,3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)0 且 一3， 可由 1,2,3 线性表出，且表出法唯一；(2)=0 时， 可由 1,2,3 线性表出，且表达式不唯一；(3)=一 3 时， 不能由 1,2,3 线性表出【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 1
18、,2 s(线性无关)线性相关 存在不全为 0 的 x1,x2 ,xs，使得 x11+x22+xss=0 成立 (没)有不全为 0 的 x1,x2 ,xs，使得成立 齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用反证法设 1,2 s， 中任意 s 个向量组 i-1,i+1 s，线性相关，则存在不全为零的 k1,k2,，k i-1，k i+1，k s，k，使得 k11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l11+l22+lii+lss，其中Ii0，i=1 ，2，5代入上式，得(k 1+kl1)1+(k2+k2l2)2+(kli-1+k
19、li-1)i-1+klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0因已知 1,2 s 线性无关，从而由kli=0，l i0，故 k=0，从而由式得 k1，k 2， ki-1，k i+1，k s 均为 0，矛盾故 1,2 s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设有数 k1,k2,，k s，使得 k11+k22+kss=0 成立，即k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1)=k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks-1t+ks)s+ksts+1=0因 1,2 s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 12
20、 s 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 1,A2，A 3=2+3， 1+3， 1+2其中 C 是可逆阵故 A1,A2,A3 和 1,2,3 是等价向量组，故 A1，A 2,A3 线性无关【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 两边取行列式，得【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 A11+A22+Ass 线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,，k s，使得 k1A1+k2A2+ksAs=0，即 A(k1A1+k2A2+ksAs)=A=0其中 =k1A1+k2A2+ksAs 成立，因已知 1,2 s 线性无关，对任意不全为零的 k1,k2,，k s，有 =k11+k22+kss0，而 A=0说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0 ，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数
