1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )（A）（B）（C）（D）2 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( )（A）（B）（C）（D）3 A 是 n 阶矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，r( iEA)=nr i（D）A 是实对称矩阵4 设 其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C5 设 A，B 均为 n
2、阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A -1B -1正确命题的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 已知 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2+3， 223（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1 一 2， 37 设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（A）（B）（C）（D）8 下列矩阵中与 合同的矩
3、阵是 ( )（A）（B）（C）（D）9 实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=010 设 A=E-2XXT，其中 x=x1，x 2，x nT，且 XTX=1，则 A 不是 ( )（A）对称阵（B）可逆阵（C）正交阵（D）正定阵二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，若 AB=E证明：B 的列向量组线性无关12 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 n
4、s 矩阵 B，使得 AB=0 的充要条件是r(A)n12 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证：13 A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积；14 存在常数 ，对任意正整数 k，使得 Ak=k1 A15 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=016 向量组， 12 t 可由向量组 1,2 s 线性表出，设表出关系为若 1,2 s 线性无关证明：r( 12 t)=r(C).17 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+ms18 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A
5、TA)=r(A)；(2)A TX=ATb 一定有解18 设 R3 中两个基 1=1，1，0 T， 2=0，1，1 T， 3=1，0，1 T； 1=1，0，0T， 2=1，1，0 T， 3=1，1，1 T19 求 1， 2， 3 到 1,2,3 的过渡矩阵；20 已知 在基 1， 2， 3 下的坐标为1，0，2 T，求 在基 1,2,3 下的坐标；21 求在上述两个基下有相同坐标的向量22 求下面线性方程组的解空间的维数： 并问 1=9，一1，2，一 1，1 T 是否属于该解空间23 设线性线性方程组 A 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解24 已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1=
6、1，0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组()，求() 的基础解系25 已知线性方程组(I) 及线性方程组()的基础解系 1=一3，7，2，0 T， 2=一 1，一 2，0，1 T求方程组(I)和() 的公共解25 已知线性方程组26 a，b 为何值时，方程组有解；27 方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；28 方程组有解时，求出方程组的全部解29 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组 的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 30 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1
7、 T+k1，一 1，2，0 T记 a=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1，2，5问：(1) 4 能否由1,2,3,5 线性表出，说明理由；(2) 4 能否由 31 已知 4 阶方阵 A=1,2,3,4， 1,2,3,4 均为 4 维列向量，其中 2,3,4 线性无关， 1=22 3，如果 =1+2+32 设 Amn，r(A)=m ，B n(nm) ，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=33 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2,3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T,
8、2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解34 设三元线性方程组有通解 求原方程组35 已知方程组 ，及方程组()的通解为 k1-1,1,1,0T+k22,-1,0,1T+-2,-3,0,0T 求方程组(I) ，()的公共解36 已知方程组 与方程组是同解方程组，试确定参数 a，b，c37 设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T=2E，A 0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值38 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 x1，x 2 是分别属于 1 和 2的特征向量证明：x 1+x2 不是
9、 A 的特征向量39 已知矩阵 相似(1)求 x 与 y；(2)求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P40 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围41 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值42 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和43 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵考研数学一（线性代数
10、）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有两个线性无关特征向量对 C 而言，因可有两个线性无关特征向量，故 C 可相似于对角阵，而 r(E 一 A)一 r(E 一 B)=r(E 一 D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 是对称阵，必相似于对角阵， C 有三个不同的特征值，能相似于对角阵A，B 的特征值均为 =1(二重)，=2( 单根)，
11、当 =1 时，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵，而 =1 时， 有两个线性无关特征向量，故 B 能相似于对角阵，故选 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角阵 A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iE 一 A)=n 一 ri，即有 ri 个线性无关特征向量 (共 n 个线性无关特征向量)A，D 是充分条件，但非必要，B 是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以
12、A 可相似对角化矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩 所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B故 P-1A2P=B2， PTAT(PT)-1=BT，P 一 1A 一 1P=B 一 1，所以 A2B 2， ATB T，A 一 1B 一 1又由于A 可逆，可知 A 一 1(AB)ABA，故
13、ABBA故正确的命题有 4 个，选 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 则有 AP=PA，即即 A 1,A2,A3=a1,a2,a3可见啦是矩阵 A属于特征值 i 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此， 1,2,3 线性无关若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故A 正确若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 223仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 223 线性无关，故 B 正确关于 C，因为2， 3 均是 =6
14、的特征向量，所以 2， 3 谁在前谁在后均正确即 C 正确由于1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故 D 错误【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E ijAEij=B其中因 Eij 是可逆阵，E ijAEij=B，故AB； Eij 可逆，且 Eij=Eij 一 1，则 EijAEij=Eij 一 1=AEij=B，故 AB；E ij 是对称阵，Eij=EijT，则 EijAEij=EijTAEij=B，故 AB故 AB，AB ，AB【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+
15、2x1x2+x32=(x1+x2)2 一 x22+x32=y12+y22 一 y32，故选B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q 1，q=p 1，又 f-f，故有 p=p1，q=q 1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=p 一 q=p 一 p1=0，故选 C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2XXT)T=E 一 2XXT=A，A 是对称阵；A 2=(E 一 2XXT)2=E一 4XXT+4XXTXXT=E， A 是可逆阵；
16、A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A 是正交阵；AX=(E 一 2XXT)X=一 X，X0，= 一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 证 B 的列向量线性无关，即证 B 列满秩，即证 r(B)=n因 r(B)n(nm)，又 r(B)r(AB)=r(E)=n，故 r(B)=n，所以 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 充分性 r(A) n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 B0，且有 AB=O 必要性 若 AB=O，其中 B0，设 B=12 s，则A
17、i=0，i=1，2，s.其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故r(A)n【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)将 A 以列分块，则 r(A)=r(1,2 n)=1 表明列向量组1,2 n 的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为 i=1,2 nT(0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 i=bii(j=1， 2，n；j=i 时，取 bi=1)，则【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (2)记 =i=a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则A=T，A k=(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T记T=a
18、1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k-1T=k-1A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因对任何 X 均有 AX=0，故方程组的基础解系向量个数为 n又r(A)+基础解系向量个数 n=n(未知量个数)，故有 r(A)=0，即 A=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B= 12 t=1,2 sC=AC，r(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)一 s，r(A)=s，故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)一(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)一(B
19、 的线性无关的行向量的个数 r(B)，即 s 一 r(A)mr(B)，得 r(B)r(A)+m 一 s=r+m 一 s【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)设 r(A)=r，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X=AT(AX)=0，故 Ax=0 的基础解系(含 n 一 r1 个无关解)含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 n一 r2 个无关解) 之中，所以 n 一 r1n 一 r2，故有 r2r1，即 r(ATA)r(A) 又当ATAX=0 时(X 为实向量) ，必有 XTATAX=0，即(AX) TAX=0，设AX=b1，b 2，b mT，则 ，必有 b1
20、=b2=bm=0，即AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 AX=0，从而有 n 一 r(ATA)n 一 r(A)，r(A)r(ATA) 由，得证 r(A)=r(ATA)(2)A TAX=ATb 有解 r(ATA)=r(ATAA Tb)由(1)知 r(A)=r(AT)=r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA的每个列向量均可由 AT 的列向量线性表出，故 AT 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故 r(ATA)=r(AT)=r(ATA Tb)=r(A
21、TAA Tb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 1,2,3=1， 2， 3C，则【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 为所求向量，则【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因系数矩阵r(A)=2，n=5，故解空间的维数是 3 1=9，一 1，2，一 1，1T 满足方程组，故 1 属于该解空间【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组(I)的通解为 代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，一 3，0 T， 2
22、=0，1，一 1T，故方程组() 的基础解系为 1=213 2=一 4，一 3，2，5 T， 2=2 一 3=2，一 1，一 1，0 T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22=k1-3，7，2，0 T+k2-1，一2，0，1 T=3k1 一 k2，7k 12k2，2k 1，k 2T其中 k1，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组(I)得：3(一 3k1 一 k2)一(7k 12k2)+8(2k1)+k2=一 16k1+16k13k2+3k2=0，(一 3k1 一 k2)+3(7k12k2)一 9(2k1)+7k2=一 21k1+21k17k2+7k2=0
23、，即方程组() 的通解均满足方程组(I) ，故()的通解。k 1-3，7，2，0 T+k2一 1，一2，0，1 T即是方程组 (I)，()的公共解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 a=1，b=3 时，r(A)=r(A b)，方程组有解【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 导出组基础解系为： 1=1，一 2，1，0 ，0 T， 2=1，一2，0，1，0 T， 3=5，一 6，0，0，1 T【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方程组通解：非齐次特解为 =-2，3，0，0，0 T，故通解为k11+k22+k33+【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 对应齐
24、次方程组有解 =1 一 2=-2，2，2 T 或写作一 1，1，1T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(A b)2，从而 r(A)=r(Ab)=2 ，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一 3，2，0T将 1， 2 代入第一个方程，得一 3a+2b=2，一 a 一 2c=2，解得 a=一 22c，b=一 23c，c 为任意常数，可以验证：当 a=一 22c，b=一 23c，c 任意时，r(A)=r(A b)=2【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1) 4 能由 1,2,3,5 线性表出由线性非齐次方程组的通解2，1， 0，1 T+k-1，一
25、1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4，故 4=一(k+2)1 一(一 k+1)22k3+5 (2) 4 不能由 1,2,3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1,2,3,4a)=r(1,2,3,4,5)=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 一 2+23=0，即 1,2,3 线性相关，r( 1,2,3)3，若4 能由 1,2,3 线性表出，则 r(4,1,2,3)=r(1,2,3)3，这和 r(1,2,3,4)=3 矛盾，故 4 不能由 1,2,3 线性表出【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由 1=22 一 3 及 2,3
26、,4 线性无关知 r(A)=r(1,2,3,4)=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T，又 =2+2+3+4，即 1,2,3,4X=1+2+3+4=1,2,3,4 故非齐次方程组有特解 =1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0 T+1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=12 n-m，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m 知， 12 n-m 是 AX=0 的基础解系若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 12 n-m 线性表出，且表出法唯
27、一，即 即存在唯一的，使 B=【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 kl+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)一( 1+2)=2 一 3=-1，3，2 T，=( 2+3)一( 3+1)=2 一 1=2，一 3，1 T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系取 AX=b 的一个特解为故 AX=b 的通解为 k11，3，2 T+k22，一 3，1T+0，1，0 T【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax1+bx2+cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解-9k，一 5k，3
28、k T，即 a=一 9k，b=一 5k，c=3k，k 是任意常数，=1，一 1，3 T 是非齐次方程组的解，代入得 d=一b=5k，故原方程是 9x1+5x23x3=一 5【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 将方程组()的通解k 1一 1，1，1，0 T+k22，一 1，0，1T+一 2，一 3，0，03 T=-2 一 k1+2k2，一 3+k1k2，k 1，k 2T 代入方程组(I) ，得化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入()的通解，得方程组 (I)， ()的公共解为：一 2 一(2k 2+6)+2k2，一 3+2k2+6 一k2，2k 2+6，k 2T=一 8，k 2+3，2
29、k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 对方程组(I)，因增广矩阵为 知其通解为 k-1，2 ，一 1，1 T+1，2，一 1，0 T=1 一 k，2+2k ，一 1 一 k，k T将通解代入方程组() ， 当 a=一1，b=一 2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为故方程组(I)和(II)是同解方程组【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 由3E+A=0= 一 3 为 A 的特征值由AAT=2E，A0A=一 4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2
30、)，则( 1)x1+(2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则矛盾【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3= 则 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得B2=E=B=2， ( 2 一 1)=0，0，故 =1，或 =一 1，B 的特征值的取值范围是1 ，一 1【知识模块】 线性代
31、数41 【正确答案】 利用特征值的定义设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则AB= 式两边左乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0， 0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB= AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数42 【正确答案】 A 的每行元素之和为 A，故有 即 a 是 A 的一个特征值又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，即 即 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数43 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关 11+22， 22+33， 33+11【知识模块】 线性代数
