1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 16 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 A 是三阶实矩阵 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关2 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是 n维非零向量证明：，正交3 设矩阵 ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角阵4 已知 求 A 的特征值和特征向量， a 为何值时，A 相似于A，a 为何值时， A 不能相似于 A5 已知 =1
2、， k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 求 k 及 a 所对应的特征值6 设矩阵 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P 使得 P-1AP=A，A 是对角阵7 已知考 =1，1，一 1T 是矩阵 的一个特征向量(1)确定参数a，b 及 对应的特征值 ；(2)A 是否相似于对角阵，说明理由8 设矩阵 且A=一 1，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于0 的特征向量为 =一 l，一 1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值9 设 A 是三阶实对称阵， 1=一 1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为考 =0，1，1 T，求 A10 设 A 是
3、 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值11 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵11 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1,2,3，令 =1+2+312 证明：， A，A 2 线性无关；13 若 A3=A，求秩 r(AE)及行列式A+2E 14 设 求实对称矩阵 B，使 A=B215 证明：AB，其中 并求可逆阵P，使得 P-1AP=B16 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)证明： 其中
4、 Er是 r 阶单位阵17 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵18 设 =a1,a2anT0，A= T，求可逆阵 P，使 P-1AP=A18 设 A=E+T，其中 =a1,a2anT0，=b 1,b2bnT=0，且 T=219 求 A 的特征值和特征向量；20 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A20 设向量 =a1,a2anT，=b 1,b2bnT 都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求：21 A2；22 A 的特征值和特征向量；23 A 能否相似于对角阵，说明理由23 设 a0,a1an-1 是 n 个实
5、数，方阵24 若 是 A 的特征值，证明： =1， 2， n-1T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；25 若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P-1AP=A26 设 问 A，B 是否相似，为什么?27 设 A 是三阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是1=2，2，一 1T， 2=一 1，2，2 T， 3=2，一 1，2 T又 =1，2，3 T，计算：(1)An；(2)A n28 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正
6、交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵29 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a，b 的值和正交矩阵 P.30 已知 f(x1， x2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2试确定参数 c及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x1，x31 已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AAT 正定的充要条件是 r(A)=m32 设矩阵 ，矩阵 B=(kE+A)2，求对角阵 A，使得 B；和 A 相似，并问 k 为何值时，B 正定阵
7、33 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵证明：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n.34 设 A 为 mN 实矩阵， e 为 N 阶单位矩阵已知矩阵 b=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵35 证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定36 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆37 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，求正交变换 P, ，使得38 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 2y12 一 y22 一 y32，又知矩阵 B
8、 满足矩阵方程 其中 =1，1，一 1T，A *为 A 的伴随矩阵，求二次型 XTBX 的表达式39 设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H240 设方阵 A2 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明：41 已知 R3 的两个基分别为求由基 1,2,3 到基1， 2， 3 的过渡矩阵 P42 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=1，1，2，3 T， 2=一 1，1，4，一 1T， 3=5，一 1，一 8，9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基考研数学一（线性代数）模拟试卷 16 答案与解析一、解答题解答应写
9、出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 因【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T，两边右乘 ，得TAT=T， T=T，() T=0，故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 由题设 A 一 1=， 是 A 一 1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得 =A，A 一 1 可逆，【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵2E 一 A 的秩应为 1【知
10、识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得 =一 1，a=一3，b=0 (2) 当 a=一 3，b=0 时，由 知 =一 1 是 A 的三重特征值，但 当 =1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A *=0，左乘 A，得 AA*=A =一 a=0A即【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 正交，故可取 2=1，0，0 T， 1=0，1，-1T，且取正交矩阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 若 为 A 的特征值
11、，则 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一 3E的特征值为一 1，1，3，2n 一 3，故A 一 3E=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1)A 一 E=(A1)( 2+1) 一 (2+y)+(2y 一 1)一 0y=2i2)A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=一 1， 2,3=1， 4=3，故 A2 的特征值 1,2,3=1， 4=9且A2 的属于特征值 1,2.3=1 的正交单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特
12、征向量为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设 k 1+k2A+K3A2=0， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是A=A11+A22+A33=11+2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 A3=A 有 A，A ，A 2=A，A 2,A3=A，A 2，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1=1 时，( 1EA)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2
13、=2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，O T； n=n时，( nE-A)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 A n=nn，A n-1=(n 一 1)n-1，A 1=1，故得可逆阵 有 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A 2=A，A 的特征值的取值为 1，0，由 AA2=A(E 一 A)=0 知r(A)+r(E 一 A)n，r(A)+r(EA)r(A+E A)=r(E)=n，故 r(A)+r(E 一 A)=n，r(A)=r，从而 r(EA)=nr对 =1，(E-A)X=0 ，因 r(E-A)=n 一 r，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1
14、， 2， r；对 =0，(OE-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n一 r 个线性无关特征向量，设为 r+1， r+2， n故存在可逆阵P=1， 2， n，使得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P 一1AP=diag(1， 2， n)=A1，其中 i，i=1，2， ，n 是 A 的特征值，且ij(ij)又 AB=BA，故 P 一 1APP 一 1BP=P 一 1BPP 一 1AP，即 A1P 一 1BP=P 一1BPA1设 P 一 1BP=(ij)nn，则【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)先求 A 的特
15、征值直接用 A 的特征方程得 A 的特征值为(2)再求 A 的对应于 的特征向量因为 A=T，=0 时，(EA)X=一 TX=0，因为满足 TX=0 的 X 必满足 TX=0，故 =0 时，对应的特征方程是 a1x1+a2 x2+anxn=0对应 =0 的 n 一 1 个特征向量为，对特征矩阵 EA=TE 一 T 右乘，得(EA)=( TE 一 T)=(T)( T)=0，故知 =1,2 nT 即是所求(3)由 1， 2， n，得可逆阵 P.【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设(E T)= 左乘 T， T(E+T) 一(E+ T)=(1+T)T=T，若 T0，则 =
16、1+T=3；若 T=0，则由式，=1=1 时，即b 1,b2bnX=0，因 T=2，故0 0，设 b10，则 1=b2，一 b1，0，0 T， 2=b3，0，一 b1，0T， ， n-1=bn，0， 0，一 b1T；=3 时，(3EA)X=(2E 一 T)X=0， n=a1，a 2，a nT【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 取【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O，即 A 是 n 阶幂零阵(A 2=O)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 利用(1)A 2=O 的结果设
17、A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 =两边左乘 A，得 A 2=A=2因 A2=O，所以 2=0，0，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为 0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=T0，r(A)=r0(其实r(A)=1，为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n一 rn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 是 A 的特征值，则 应满足E 一 A=0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘2，第 n 列乘 n-1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得得证 =
18、1， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 1， 2， n 异，故特征向量考 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得 其中i=1， i， i2， in-1T，i=1，n【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于对换E 一 A的 1，2 列和 1，2 行，得故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故 AB 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因 A1=11，故 AN1=1N1，故 (2)利用Ai=ii 有 Ani=ii，将 表成 1，
19、2， 3 的线性组合设 =x11+x22+x33，即【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 则所求正交矩阵P=p1，p 2，p 3【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 得1=0， 2=4， 3=9存在正交阵 Q，令 X=QY，则 f=4y22+9y32，故 f(x1，x 2，x 3)=1表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT，所以 AAT 是对称阵 必要性 若 AAT 正定，r(AA T)=mr(A)，又 r(Amn)m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 ATX=0
20、只有零解，故对任意 X0，均有 ATX0，故 XTAATX=(ATX)T(ATX)0，即 AAT 正定【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵B TAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 ，当 0 时，有故 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 必要性 取 B=A 一 1，则 AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以 AB+BTA是正定矩阵充分性用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量x00 使得 Ax0=0因为 A 是实对称矩阵，
21、B 是实矩阵，于是有 x0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0，这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 由 AAT=E 有A 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或一1由A+B =0 有A.B = 一 1，也有 AT.B T= 一 1再考虑到A TT(A+B)BT=A T+BT=A+B，所以一A+B=A+B，A+B=0故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 2，一 1，一 1，A =2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，-
22、2，-2，由已知， 是 A*关于 =1 的特征向量，也就是 是 A 关于 =2 的特征向量由 得 2ABA-1=2AB+4EB=2(E 一 A)-1，则 B 的特征值为一 2，1，1，且 B=一 2设 B 关于=1 的特征向量为 =x1，x 2,x3T，又 B 是实对称阵， 与 正交，故 x1+x2 一x3=0，解出 1=1，-1，0 T， 2=1，0，1 T，令故 XTBX=-2x1x2+2x1x3+2x2x3【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 B1=C1TA1C1因为A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 B2=C2TA2C2【知识模块】 线性代数41 【正确答案】 1， 2， 3=1,2,3P 一 1P= 1,2,3叫 1， 2， 3=【知识模块】 线性代数42 【正确答案】 先求 Bx=0 的基础解系，r(B 54)=2Bx=0 的基础解系含 4 一 r(B)=2 个线性无关的解向量显然 1,2 线性无关，则 1,2 为 Bx=0 的一个基础解系将 1,2 正交单位化得 Bx=0 的解空间的一个标准正交基：【知识模块】 线性代数
