1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0 ，而 A*是 A 的伴随矩阵，则A *等于( )（A）n（B）（C） an1（D）a n 2 设 n 阶方程 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACB=E（B） CBA=E（C） R4C=E（D）BCA=E 3 设 则必有( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1J5l（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B 4 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得
2、 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为5 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*6 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P 1AP（B） C=PAP1（
3、C） C=PTAP（D）C=PAP T7 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆8 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B *的伴随矩阵若A=2，B =3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为9 设 A 为 mn 咒矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩 r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m（D）秩 r
4、(A)=n，秩 r(B)=n 10 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=( )（A）P 1P2（B） P11P2（C） P2P1（D）P 2P1111 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1AP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 Q1AQ= ( )二、填空题12 设 44 矩阵 A=( 2 3 4)，B=( 2 3 4)，其中 ， 2 3 4 均为 4 维列向量，且已知行列式A=4， B=1 ，则行列式A+B =_ 13 设矩阵 则逆矩阵(A 一 2
5、1)1=_14 设 4 阶方阵 则 A 的逆阵 A1=_15 已知 =1，2，3 ，=1， ，设 A=T，其中 T 是 的转置，则Am=_16 设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A1BA=6A+BA，其中 则B=_17 设 B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_18 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵，则(A E)1=_19 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_20 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+3
6、2+93)如果A=1，那么B=_21 设矩阵 A= ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_22 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= ，求矩阵 B24 已知 AP=PB，其中 求 A 及 A525 设 4 阶矩阵 且矩阵 A 满足关系式 A(EC1B)TCT=E，其中 E 为 4 阶单位矩阵，C 1 表示 C 的逆矩阵，C T 表示 C的转置，将上述关系式化简并求矩阵 A26 设 A 为 n 阶非零实方阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转
7、置矩阵，当 A*=AT时，证明A027 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=I(I 是 n 阶单位阵， AT 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+I28 设 A=I 一 T，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明： (1)A 2=A 的充要条件是 T=1； (2)当 T=1 时，A 是不可逆矩阵29 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB130 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA1=BA1+3E，其中 E 为 4阶单位矩阵，求矩阵 B考研数学一（线性代数）模拟试卷 18 答
8、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=AE 两端取行列式，得A A *=A *，因A=a0，得A *=A n1=AN1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ABC=E，即 A(BC)=E，故方阵 A 与 BC 互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即 BCA=E【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 可以看作由矩阵 A 依次进行下列两次初等行变换得到的：把A 的第 1 行加到第 3 行上去，再把所得矩阵的 1、 2 两行互换这两次初等变换对应的初等方阵分别为题中给的矩阵
9、P2 和 P1，于是由“对矩阵 A 施行初等行变换相当于给 A 左乘相应的初等方阵”，即知(C)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C，于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1)= 所以只有选项(D) 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法以 2 阶方阵为例，设由此可见，交换 A*的第
10、 1 列与第 2 列得一 B*，而其它选项均不对，故只有 (C)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于所以，C=PAQ=PAP 1，只有选项(B)正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 由于(EA)(E+A+A 2)=E 一 A3=e，(e+A)(e 一 A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：EA 和 E+A 均是可逆的【知识模块】 线
11、性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵C= = AB一 60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC*=CE，得故只有选项(B) 正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 m=r(E)=r(AB)r(A)m，所以有 r(A)=m，同理有 r(B)=m【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P21，两端右乘 P11，得 A=P21P11，因 P21=P2，而 P11P1，故只有(D) 正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1， 1，2) ，知 1，
12、2， 3 是 A 的 3个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2 1+2O(否则 1， 2 线性相关，与 1， 2， 3 线性无关矛盾)，且 A(1+2)=A1+A2=1+2，因此 1+2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 从而知 1+1， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 ( 1+1， 2， 3)1A(1+1， 2， 3)=diag(1，1，2) ，即 Q1AQ=diag(1，1，2)因此选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 40【试题解析】 因为 A+B=(+ 22 23 24)，
13、由行列式的性质即得A+B=+ 22 23 24 =8+ 2 3 4=8( 2 3 4+ 2 3 4)=8(4+1)=40【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 记矩阵为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3 n1【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 由已知关系式推出(A 1 一 E)BA=6A，因为上式右端的方阵 6A 可逆，所以左端的方阵 A1 一 E 也可逆，给上式两端左乘 (A1 一 E)1，右乘 A1，即得B=(A1 一 E)16
14、AA1=6(A1 一 E)1=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一 3【试题解析】 A 为方阵，若A0，则 A 可逆，于是有 A1AB=A1O，得B=0，这与 B0 矛盾，故必有A=0，由此解得 t=一 3【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (A+2E)【试题解析】 由(A+2E)(AE)=A 2+A 一 2E=4E 一 2E 一 2E，得 (A+2E)(AE)=E 由逆矩阵的定义，即知(AE) 1= (A+2E)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*A=AE，而A=3，所以 A*A=3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A 或 3(A
15、 一 2E)B=A 两端取行列式，得 3 3A 一2E B=A由于出方阵 B，再计算B ，则显然要麻烦多了【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 2【试题解析】 利用矩阵乘法，可将 B 表示为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BAB=2EB(AE)=2E 两端取行列式，得 B AE=2E因 AE= =2，2E=2 2E=4 所以有 2B =4，从而得 B =2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1【知识模块】 线性代数三、解答
16、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由 AB=A+2B 推出(A 一 2E)B=A，其中 E 为 3 阶单位矩阵，因为【试题解析】 本题综合考查矩阵的线性运算，求逆矩阵及矩阵乘法等运算求解矩阵方程可类比求解一元一次代数方程，通常是先通过移项将含有未知矩阵的项移到等号一端去，再通过提取公因子等步骤将方程化简整理成 AX=C(或 XA=C，或AXB=C 等)形式。进而给两端左乘(或右乘，或给左右两端都乘)相应的逆矩阵解出未知矩阵 X(如果 X 的系数矩阵不可逆，则需要用元素法)应特别注意矩阵乘法不满足交换律，相乘矩阵的次序不可随意颠倒，即左乘和右乘一般是不同的因此，在本例
17、中，从 AB 一 2B 中提出右边的公因子 B 时要将 B 写在乘积的右边，而由(A一 2E)B=A 要解出 B 就需要给该式两端同时左乘(A 一 2E)1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 先求出 A5=AAAAA=(PBP1)(PBP1)(PBP1)(PBP1)(PBP1)=PB5P1=PBP1=A【试题解析】 本题综合考查求逆矩阵、矩阵乘法及方阵的幂等运算注意在求 A5时利用了矩阵乘法的结合律，在求 B5 时利用了对角阵的方幂归结为它的主对角线上各元素的方幂【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A(EC1B)TCr=AC(EC1B)T=A(CB)T，故所给关系式化简成 A
18、(CB) T=E 所以 A=E(C B)T1=(CB)1T【试题解析】 本题考查矩阵运算的运算规律及逆矩阵的计算注意在矩阵运算中，一般先要作“字母”运算，把所给关系式(或方程)尽可能化简后再作具体的数值运算【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由公式 AAT=AE，得 AAT=AE ，若A =0，则有AAT=O，设 A 的第 i 个行向量为 i(i=1，2，z) ，则由 AAT 的第 i 行第 i 列处的元素为零，有 iTi=i=0，(i=1，2，n)，即 i=0，i=1 ，2，n，于是A=0，这与已知 A 为非零阵矛盾，故A0【试题解析】 本题主要考查伴随矩阵的概念和性质注意 A*的第
19、i 行第 j 列处元素为 Aij，伴随矩阵的定义及公式 AA*=A*A=A E 是处理逆矩阵及伴随矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握例如，当A 0 时，由上述公式可得几个常用的结果：A 1= ；A *=A N1(当A =0 时可证明A *=0，故此公式对任何 n(n2)阶方阵 A 恒成立)；(A *)*=A n2A(由(A*)1=，于是有(A *)*=A n2A) 还需指出的是，满足本题给定条件的实矩阵 A，实际上是行列式为 1 的正交矩阵事实上，由已知的关系式 AT=A*两端取行列式，得A=A T= A *= A n1，因此A的取值范围是0，1，一 1。【知识模块】 线性代数2
20、7 【正确答案】 因为 A+I=A+AA T=AI+A T=A(I+A T)T =AI+A=AA+I 所以 (1 一A )A+I=0 又因 IA0 故 A+I=0【试题解析】 本题综合考查矩阵的乘法、转置及方阵乘积的行列式等运算这里，将A+I中的 I 换成 AAT，进而推出关于数A+I的关系式是求解的关键 又因 IA0 故 A+I=0 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)A 2=(I 一 T)(I 一 T)=I 一 2T+TT =I 一 2T+(T)T=I 一2T+(T)T =I 一(2 一 T)T A2=A 即 I 一(2 一 T)T=I 一 T，亦即 ( T 一 1)T=O 因
21、为 是非零列向量，有 T0 故 A2=A 的充要条件是 T 一 1=0，即T=1 (2)用反证法当 T=1 时 A2=A，若 A 可逆，则有 A 1A2=A1A 即 A=I，这与已知的 A=I 一 TI 矛盾，故 A 是不可逆矩阵【试题解析】 本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律，用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵这里 T 是一个 1 阶方阵，即一个数，因此可把它从矩阵乘积中提出来，这是本题化简推证的关键本题(2)考察可逆矩阵的概念，条件为 T=1，自然应该联想并应用(1)的结论，并利用反证法(最易 )，因为当假定 A 可逆时，就可以用 A1 进行运算【知识
22、模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)因A 0，及B=一A0，故 B 可逆 (2)记 Eij 是由n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得到的初等方阵，则 B=EijA 因而 AB 1=A(ijA)1=AA1Eij1=Eij1=Eij【试题解析】 本题(1)考查方阵可逆的条件及行列式的性质，属于基本题目(还可以利用“等价的矩阵有相同的秩”推出 B 亦为满秩方阵、即可逆方阵)本题(2)考查能否灵活应用矩阵初等行变换与初等方阵的关系，将与 A 行等价的矩阵用矩阵乘积表示出来【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由A *=A N1，有A 3=8，得A=2又由题设方程，有 (A E)BA1=3E 两端右乘 A，得 (AE)B=3A 两端左乘 A1，得 (E 一 A1)B=3E 即 (E 一 A*)B=3E 亦即 (2E 一 A*)B=6E 又 2EA*为可逆矩阵，于是 B=6(2EA*)1 计算可得【试题解析】 本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念和性质注意本题化简矩阵方程的关键是利用公式 AA*=A*A=AE也可以直接先给题设方程两端右乘 A，得 AB=B+3A，再两端左乘 A*，得A B=A *B+3A E，即2B=A*B+6E，移项得 (2E 一 A*)B=6E【知识模块】 线性代数
