1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A 的秩为 r，且 rn，则在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量均可构成极大线性无关组（C）任意 r 个行向量均线性无关（D）任一行向量均可由其它 r 个行向量线性表示 2 向量组(I)： 1， 2， m 线性无关的充分条件是 (I)中( )（A）每个向量均不是零向量（B）任意两个向量的分量都不成比例（C）任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示（D）有一部分向量线性无关 3 设 mn 矩阵 A 的秩 r
2、(A)=mn，E 为 m 阶单位阵，则( )（A）A 的任意 m 个向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不为 c（C）若 BA=O，则 B=0（D）经初等行变换，可将 A 化为(E mO)的形式 4 设有两组 n 维向量 1， 2， m 与 1， 2， m，若存在两组不全为零的数1， 2， m 和 k1，k 2，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m一 km)m=0，则( )（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1+1， m+m， 11， mm 线性相关（C） 1， m 和 1， m 都线性无关（D） 1+1， ， m+m， 11，
3、mm 线性无关 5 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2， m1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m1，则( )（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由(II)线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由(II)线性表示 6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1+2， 2+3， 1+22+3（B） 1+2， 2+3， 3 一 1（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，
4、2 132+223，3 1+5253 7 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则( )（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示 8 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+ksm0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+ksm=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D
5、） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 二、填空题9 若向量组 1=(1，1，2，一 2)， 2=(13，一 x，一 2x)， 3=(1，一 1，6，0)的秩为 2，则 x=_10 向量空间 w=(x，2y，0) TR3x，3，R)的维数为_11 设向量组 1=(2，1，1，1)， 2=(2，1，a ，a)， 3(3，2，1，a) ，4=(4， 3，2， 1)线性相关，且 a1，a=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s1=s1+s， s=s+1，讨论向量组 1， 2，
6、s 的线性相关性13 设 1= ，问 取何值时，(1) 不能由 1， 2， 3 线性表示?(2) 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一?(3) 可由1， 2， 3 线性表示但表达式不唯一?14 已知向量组 具有相同的秩，且届可由 1， 2， 3 线性表示，求 a、b 的值15 证明：n 维列向量组 1， 2， 3 线性无关的充分必要条件是行列式16 设向量组(I)： 1， 2， 3 的秩为 3；向量组()： 1， 2， 3， 4 的秩为 3；向量组()： 1， 2， 3， 5 的秩为 4证明：向量组()： 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为417 设 为实 n 维非零列向量， T 表示
7、 的转置(1)证明：A=E 一 为对称的正交矩阵；(2)若 =(1，2，一 2)T，试求出矩阵 A；(3) 若 为税维列向量，试证明：A= 一(bc)，其中，b、c 为实常数18 设向量组(I)： 1， 2， r 诉线性无关，且(I)可由()： 1， 2， s 线性表示证明：在() 中至少存在一个向量 j，使得 j， 2， r 线性无关19 设向量组 1， r 线性无关，又 1=a111+a212+ar1r 2=a121+a222+ar2r， r=a1r1+a2r2+arrr 记矩阵 A=(aij)rr，证明：1， 2， s 线性无关的充分必要条件是 A 的行列式A020 求下列向量组的一个极
8、大线性无关组，并用极大线性无关组线性表出该向量组中其它向量： 1=(1，2，3，一 4)， 2=(2，3，一 4，1)， 3=(2，一 5，8，一 3)，4=(5， 26，一 9，一 12)， 5=(3，一 4，1，2) 21 设有向量组(I)： 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一1，t+2) T， 4=(一 2，一 6，10，t) T (1)t 为何值时， (I)线性无关? 并在此时将向量=(4， 1，6， 10)T 用(I)线性表出； (2)t 为何值时，(I)线性相关? 并在此时求(I) 的秩及一个极大无关组22 已知 Rn 的两个基分别
9、为求由基(I)到基()的过渡矩阵 C23 设 1， n1， 1， 2 均为 n 维实向量， 1， ， n1 线性无关，且j(j=1， 2)与 1， n1 均正交证明： 1 与 2 线性相关24 设 i=(ai1，a i2，a im)T(i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组 1， R， 的线性相关性25 设有向量组(I)： 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a)T， 4=(4，4，4，4+a) T问 a 取何值时，(I)线性相关?当(I)线性相
10、关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出考研数学一（线性代数）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=O 知 A 的每个列向量均为齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，因 r(A)=m，知 A 的列向量组的极大无关组含 m 个向量，故方程组 Bx=0 的基础解系至少含 m 个解向量，即 mr(B)m，r(B)0，r(B)=0，B=0故(B)正确注意当 r(A)=mn 时，要将 A 化为标准形，仅仅通过初
11、等行变换是不行的，还要对 A 作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知有不全为零的数 1， m，K 1，k m，使 1(1+1)+ m(m+m)+k1(1 一 1)+km(m 一 m)=0，所以，向量组1+1， ， m+m， 1 一 1， m 一 m 必线性相关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由条件，存在常数 k1，k m1，k m，使 =k11+km1m1+kmm(*)，且必有 km0(否则，=k 11+km1m1，这与 不能由(I)线性表示矛盾)，于是由(*)式解得 m= ，即 m 可由()线性表示但
12、 m 不能由(I)线性表示，否则，存在常数 1， m1，使m=11+ m1m1，代入 (*)式，得 =(k1+1)1+(km1+m1)m1，这与 不能由(I)线性表示矛盾，所以 m 不能由(I)线性表示综上可知只有(B)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 记选项(C) 中的 3 个向量分别为1=1+22， 2=22+33， 3=33+1，则利用矩阵乘法可将此线性表示式写成 1 2 3=1 2 3 ，因 1， 2， 3 线性无关，故矩阵 1 2 3为列满秩矩阵，而用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，于是 r 1 2 3= =3 即知向量组 1， 2， 3 线性无关，故选项
13、(C) 正确 用上述方法也容易判别选项(D) 中的3 个向量线性相关至于选项(A)、(B)，由观察易知两组向量都是线性相关的【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 由部分组与整体组线性相关性的关系，知 ， 线性无关，又， ， 线性相关，由此知 可由 ， 线性表示：=k 1+k2=k1+k2+0，所以(C)正确 或由 ， 线性无关，而 ， ， 线性相关，知 必可由， ， 线性表示【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 反例： 1= 线性相关，但存在 k1=1 与 k2=2 不全为零，使 k11+k220注意，“对于任意”与“存在”二者是不同的【知识模块】 线性代数
14、二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 由 ，知 x=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 w 中的向量可写成 =(x，2y，0) T=x(1，0，0) T+y(0，2，0) T，可见w 是由向量 1=(1，0，0) T， 2=(0，2，0) T 生成的 R3 的子空间， 1， 2 线性无关，因而可作为 W 的基，所以 dim(w)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由以 1， 2， 3， 4 为行构成的方阵的行列式等于零，即(a 一 1)(2a一 1)=0，及 n1，得 a= 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
15、步骤。12 【正确答案】 由于 1 2 s=1 2 s 记上式最右边的 s 阶矩阵为 A，则由于 1 2 s为列满秩矩阵，知 1 2 s=r(A)，即有： 1， 2， ， r 线性无关(线性相关)所以，当 s 为奇数时，向量组线性无关；当 s 为偶数时，线性相关【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=,该方程组的系数行列式为= 1 2 3= 2(+3)故当 0 且 一 3 时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一当 =0 时，=0，方程组为齐次线性方程组，有无穷多解，故此时 可由 1，
16、2， 3 线性表示，且表达式不唯一当 =一 3 时，对方程组的增广矩阵施行初等行变换，可见方程组无解，故此时 不能由1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1 与 2 线性无关，且 1=31+22，秩( 1， 2， 3=2，秩1， 2， 3=2，行列式 1 2 3=0 ，a=3b，又 3 可由 1， 2， 3=31+22线性表示， 3 可由 1， 2 线性表示，行列式 1 2 3=0，b=5，a=15【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令矩阵 A=1 2 3，则 1， 2， n，线性无关 A0，而 D=A TA=A TA=A 2，故A0 D0【知识模块】 线性代
17、数16 【正确答案】 由条件知(I)线性无关，而(II)线性相关故 4 可由 1， 2， 3 线性表示，设为： 4=11+22+33设有一组数 x1，x 2，x 3，x 4，使得x11+x22+x33+x4(5 一 4)=0，即(x 11x4)1+(x2 一 2x4)2+(x33x4)3+x45=0，由()线性无关，得齐次线性方程组 它只有零解x1=x2=x3=x4=0，故()线性无关，即秩()=4亦可利用()与()等价，( )与()有相同的秩【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 记常数 b= ，则 b0，A=E 一 bT(1)A T=(E 一 bT)T=E一 baaT=A，所以 A 为对
18、称矩阵AA T=AA=(E 一 bT)(EbT)=E 一2bT+b2(T)T，而 T= ，代入上式得 AAT=E，所以 A 为正交矩阵(2)(3)A=(E 一bT)= 一 b(T)= 一 b(T)= 一(bc)，其中常数 c=T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 可用反证法：否则，对于 j=1，2，s，向量组 j， 2， r线性相关，又 2， r，线性无关，故 j 可由 2， r，线性表示，()可由 2， ， r，线性表示，又已知 1 可由(II) 线性表示， 1 可由 2， r 线性表示，这与(I)线性无关矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 不妨设 j 及 j 均为 n 维列
19、向量(j=1，2，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 1 2 r=1， 2， rA 或 B=PA，(*)其中 B=1 2 s及 P=1， 2， r均为 nr 矩阵，且矩阵 P 的列向量组线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解；若 x 满足 Ax=0，两端左乘 P 并利用PA=B，得 Bx=0；若 x 满足 Bx=0，即 PAx=0，或 P(Ax)=0，因 P 的列向量组线性无关，得 Ax=0，所以，Ax=0 与 Bx=0 同解，它们的基础解系所含向量个数相等，即 r 一 r(A)=rr(B)，r(A)=r(B)所以，向量组 1 r 线性无关r 1 2 r=rA0【知
20、识模块】 线性代数20 【正确答案】 1， 2， 5 是一个极大无关组，且 3=12+5， 4=31+4225或 1， 2， 3 是一个极大无 关组，且 4=51+2223， 5=一 1+2+3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对下列矩阵作初等行变换：(1)由阶梯形矩阵可见，当 t2 时， 1， 2， 3， 4 线性无关，此时，再对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为(2)当 t=2 时，1， 2， 3， 4 线性相关，其极大无关组可取为 1， 2， 3(或 1， 3， 4)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 1 2 3=1 2 3CC= 1 2 311 2 3=【知识模块】
21、 线性代数23 【正确答案】 n+1 个 n 维向量 1， n1， 1， 2，线性相关，故有不全为 0的一组数 k1，k n1，k n，k n+1，使 k11+kn1n1+kn1+kn+12=0，且 kn 与 kn+1不全为 0(否则 k1，k n1 不全为 0，使 k11+kn1n1=0，这与 1， n1线性无关矛盾)，用 kn1+kn+12 与上面等式两端作内积，得k n1+kn+122=0，k n1+kn+12=0且因 kn 和 kn+1 不全为 0，知 1 与 2 线性相关【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 线性无关，证明如下：由题设条件有 Ti=0(i=1，2，r)设k11+krr+kn+1=0，两端左乘 T，并利用 Ti=0 及 T0，得kr+1=0，k 11+krr=0，又 1， r 线性无关，k 1=kr=0，故1， ， r， 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， 3， 4，由A=0 或由初等行变换，可得：当 a=0 或 a=一 10 时，(I) 线性相关当 a=0 时， 1 为(I)的一个极大无关组，且2=21， 3=31， 4=41；当 a=一 10 时，对 A 施行初等行变换：A，可知 2， 3， 4 为(I)的一个极大无关组，且 1=一 234【知识模块】 线性代数
