1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3，
2、 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（D）
3、 1， 2， m， 1+2 线性无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线
4、性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组()线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关8 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则(
5、 )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r19 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元
6、素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合二、填空题11 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _12 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+2 一 3， 2+3 线性相关，则 a=_.13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=0 16 17 18 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 ，求 B
7、19 设 AX=A+2X，其中 ，求 X20 21 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) -1；(2)(A+4E) -122 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=0，求(E A)-123 24 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=AE 证明：A=A *25 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=0证明：r(4EA)+r(2e+A)=N26 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一27 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=0，证明：A=0 28 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无
8、关29 设 1，a m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m线性无关，则 一 1， 一 m 线性无关30 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n+1 线性无关31 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关32 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关33 n 维列向量组 1， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1， n-1，线性无关34 设向量组 1， n 为两两正交的非零
9、向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立。35 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关36 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示37 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t38 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量为零向量39 40 设三维向量空间 R3 中的向量 在基 1=(1，一 2，1) T， 2=(0，1，1)T， 3=(3，2，1) T
10、下的坐标为(x 1，x 2，x 3)T，在基肪，尼，届下的坐标为(y1，y 2，y 3)T，且 y1=x1-x2-x3，y 2=-x1+x2，y 3=x1+2x3，求从基 1， 2， 3 到基1， 2， 3 的过渡矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为一( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+
11、(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一1)=0， 所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关； 因为( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2，
12、 m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； (B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证 1， 2， m线性无关； (C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 ， 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m-1 线性表示，所以 1， 2， m
13、-1， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块
14、】 线性代数部分6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A) 【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， n)n，故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案
15、】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s，与向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，从而 A
16、的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数部分二、填空题11 【正确答案】 2=一 122+34【试题解析】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解，所以 1+2+2334=0，故2=一 122+34【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 a=-4，b=-13【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及
17、(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=0 或AB=一 BA，AB= 一 BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 【知识模块】 线
18、性代数部分21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 E k 一 Ak 一(EA)(E+A+A 2+Ak-1)，又 Ek 一 Ak=E，所以(E 一A)-1=E+A+A2+Ak-1【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 由 A2 一 2A 一 8E=0 得(4EA)(2E+A)=0，根据矩阵秩的性质得r(4EA)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)
19、=r(6E)=n，所以有r(4EA)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=0，故r(A)+r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=0 ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=0，所以 r(A)=0，于是 A=0【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(
20、1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0，【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0； 由 A2=1+2 得(AE) 2=1；由A3=2+3 得(A E)3=2， 令 k 11+k22+k33=0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 AE 得 k31=0，因为 10，所以 k3=0，代入(2)、(1)得 k1=0，k 2=0，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数部分32 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r，(
21、r n)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11+krr=0，于是k11+krr+0r+1+0 n=0，因为 k1，0，0 不全为零，所以 1， n线性相关【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 令 k0+k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 与非零向量 正交及(， k0+k11+kn-1n-1=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)一 20 ，于是 k0=0，故 k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 线性无关得k1=kn-1=0，于是 1， n-1， 线性无关 【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 令 k11+knn=0，由 1，
22、 n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(1， 1)=0，而( 1， 1)= 1 20，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0，故 1， ， n 线性无关令 ，显然 1， 2 线性无关，但1， 2 不正交【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=0，【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 因为 =(1， 2， 3)X，=( 1 ， 2， 3)Y ，由 y1=x1-x2 一 x3，y 2=一 x1+x2，y 3=x1+2x3【知识模块】 线性代数部分
