1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 A0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出2 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解3
2、 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n4 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(Ab) ，r（B）任意 (B)AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） A0，b 可由 B 的列向量线性表出（D）B0，b 可由 A 的列向量线性表出5 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，
3、2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )6 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例7 已知 1=-1，1，a，4 T， 2=-2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a4（C） a-3（D）a-3 且
4、a-4二、填空题8 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22-3=1+2+3+4=1+32+3+24，则 Ax= 的通解为_9 设 A= ， B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_10 已知-2 是 A= 的特征值，其中 b0 是任意常数，则 x=_11 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_12 设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E =0，则A+4E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 A 是三阶矩阵， 1，
5、2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵14 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量 证明：当 230 时，向量组 1， A(1+2)，A 2(1+2+3)线性无关15 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量证明：， 正交16 设矩阵 A= ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角阵17 已知 A= ，求 A 的特征值和特
6、征向量，a 为何值时，A 相似于A，a 为何值时， A 不能相似于 A18 已知 =1，k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 A= ，求 k 及 a 所对应的特征值19 设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量 =2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P 使得 P-1AP=A，A 是对角阵19 已知 =1，1，-1 T 是矩阵 A= 的一个特征向量20 确定参数 A，b 及 对应的特征值 ；21 A 是否相似于对角阵，说明理由22 设矩阵 A= ，且A=-1 ，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0 的特征向量为 a=-1， -1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值23 设 A 是三阶实
7、对称阵， 1=-1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为1=0，1，1 T，求 A24 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A-3E 的值24 设矩阵25 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；26 求矩阵 P，使 (AP)T(AP)为对角矩阵26 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+327 证明：， A，A 2 线性无关；28 若 A3=A，求秩 r(A-E)行列式A+2E考研数学一（线性代数）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每
8、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，AX=b有唯一解 (A) 是充分条件，但非必要条件， (B)是必要条件，但非充分条件(可能无解)， (C)是必要条件，但非充分条件 (b 由 1， 2， n 表出，可能不唯一) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(ATb)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证【
9、知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)=r(Ab) ，r(B) 任意(BY=0总有解，至少有零解，其余均错)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1-(2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答
10、案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由 =1+22-3=1+2+3+4=1+32+3+24 可知 1=均为 Ax=0 的解 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1-
11、2， 2-3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4-r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故1-2， 2-3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 k1，k 1，k 2R【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k-1 ，1，0 T,k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1 当a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为 -1，1，0 T，因此通解为 k-1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答
12、案】 -4【试题解析】 由E-A=-2E-A=0，可求得 x=4【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0(n-1 重根)，n( 单根)【试题解析】 E-A =故 =0(n-1 重特征值)，=n(单根)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+2E=A+3E=0，知 A 有特征值 =-1，-2 ，-3，A+4E 有特征值 =3， 2，1，故A+4E=6【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关11+22， 22+33， 33+11 线性无关 11+22， 22
13、+33， 33+11=1， 2， 3 的秩为 3，因为 1， 2， 3 线性无关，=1230，A 是可逆阵【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)= 因 123，故1， 2， 3 线性无关，由上式知 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，即 230【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， (-) T=0， 故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 =-1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(E-A)=r(-E-A)=1，故 k=0
14、 时，存在可逆阵 P，使得 P-1AP=Ak=0 时，故 k=0 时，存在可逆阵 P= 1， 2， 3= 使得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =(-a)-(1-a)-(1+a)=0，得 1=1-a， 2=a， 3=1+a 且 a0 时，123，AA；a=0 时，1=3=1，r(E-A)=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由题设 A-1=， 是 A-1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A -1 可逆，0，A= 对应分量相等，得 得 2+2k=k(3+k)，k 2+k-2=0，得 k=1 或 k=-2当 k=1时，=1 ，1 ，1 T，=4 ， 当 k=-2 时，=-1
15、，-2 ，1 T，=1，【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2E-A 的秩应为 1解得 x=2，y=-2，故【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得 =-1，a=-3，b=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a=-3，b=0 时，由知 =-1 是 A 的三重特征值，但当 =-1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A *=0，左乘 A，得 AA*=A =-= 0A即由，
16、解得 0=1，代入 ，得 b=-3，a=c由 A=-1，a=c，有得 a=c=2，故得 a=2 ，b=-3 ，c=2 ， 0=1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1， 1 T，且取正交矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 -3 为 A-3E 的特征值所以 A-3E 的特征值为-1 ，1，3，2n-3，故A-3E =(-1)13(2n-3)=-(2n-3)!【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A-E =(-1)(+1) 2-
17、(2+y)+(2y-1)=0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=-1， 2，3 =1， 4=3，故 A2 的特征值1，2，3 =1， 4=9且 A2 的属于特征值 1，2，3 =1 的正交单位化的特征向量为 A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为 令 P=p1，p 2，p 3，p 4=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 k 1+k2A+k3A2， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是 A=A1+A2+A3=11+22+33， 代入式整理得 因为1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有其系数行列式 ，必有 k1=k2=k3=0，故，A，A 2 线性无关【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由 A3=A 有 A，A ，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数
