1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似2 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向
2、量，那么 为 A 的特征向量3 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，244 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能5 已知 1， 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1-2（D） 1+26 设 则下列选项中是 A 的特征向量的是 ( )
3、A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，-2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，-2 T7 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题8 设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2+2A=0 ，2A 4+A=0，则 A*的特征值是_9 设 A 是 N 阶实对称阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 的特征值是_10 矩阵 A= 的非零特征值是 _11 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足_12 与 1=1， 2，3，-
4、T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A= ，求实对称矩阵 B，使 A=B214 证明：AB，其中 并求可逆阵 P，使得 P-1AP=B15 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)证明： 其中Er 是 r 阶单位阵16 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵17 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆阵 P，使 P-1AP=A17 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b
5、 nT0，且 T=218 求 A 的特征值和特征向量；19 求可逆矩阵 P，使得 P-1Ap=A19 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求：20 A2；21 A 的特征值和特征向量；22 A 能否相似于对角阵，说明理由22 设 a0，a 1，a n-1 是 n 个实数，方阵23 若 是 A 的特征值，证明： =1， 2， T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；24 若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 p-1AP=A25 设 问 A，B 是否相似，为什么?25 设 A 是三阶矩阵，
6、 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=E2， 2，-1 T， 2=-1，2，2 T， 3=2，-1 ，2 T 又 =1，2，3 T计算：26 An1；27 An27 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)= +4xx-4x1x3+8x2x328 写出二次型 f 的矩阵表达式；29 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 tE-B=tE-P
7、1AP=P-1(tE)P-P-1AP=P-1(tE-A)P，即 tE-A 与 tE-B 相似，选(D)对于(A)：由 E-A=E-B，有 A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C) ： A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A) 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n-1 时，A *=O，此时，任
8、意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B) 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2=-2，其中 1， 20此时有A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 ，因此 为 A 的特征向量可知(D)是正确
9、的故选(D) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 ，其中A= 123， 是 A 的特征值，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E-A)=1(0E-A)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：，r(A)=1 ，=0 是三重特征值【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1-20，且仍有关系 A( 1-2)=1-2=(1-2)，故 1-2是 A 的特征向量 而(A) 1，(B) 2，
10、D) 1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A 的对应于 =-2 的特征向量 其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而 r(E-A)=r(E-B)=r(E-D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角阵【知
11、识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 AA+2E=0，因A=3 ，则A+2E=0，故 A 有特征值1=-2又 因A =3=123，故 3=3A=， A*A=A*， A * 故 A*有特征值【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 故 B 有特征值为 0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 =4【试题解析】 因或有 AX=4X，即 得 =4【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【
12、试题解析】 设 =x1，x 2，x 3，x 4T，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有故 n-r(A)=4-3=1，则Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为-1，-1，1，0 T，将其单位化，得 1，1，-1 ，0 T，即为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 E-A= 1=0， 2=3=9【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1=1 时，( 1E-A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=
13、2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； =n 时，(E-A)X=0，有特征向量 =0，0，1 T故有 A n=nn，A n-1=(n-1)n-1，A 1=1，即 An， n-1， 1=nn，(n-1) n-1， 1=n， n-1， 1故得可逆阵 有 P 0-AP=B【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方法一 A 2=A，A 的特征值的取值为 1，0，由 A-A2-A(E-A)=O 知 r(A)+r(E-A)n， r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n ，故 r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而r(E-A)=n-r 对 =1，(E-A)X=0
14、 ，因 r(E-A)=n-r，故有 r 个线性无关特征向量，设为1， 2， r； 对 =0，(0E-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n-r 个线性无关特征向量，设为 r+1， r+2， n故存在可逆阵 P=1， 2， n，使得 P-1AP=方法二 r(A)=r，A 有 r 个列向量线性无关，设为前 r 列，将 A 按列分块，有 A 2=A1， 2， n=1， 2， n=A，即 Ai=i，i=1，2，r，故 =1至少是 r 重根，又 r(A)=r，AX=0 有 n-r 个线性无关解，设为 r+1， r+2， n，即 Aj=0，j=r+1，n故 =0 是 A 的特征值， j，j=r
15、1，n 是对应的特征向量令 P=1， 2， r， r+1， n，有 P-1AP=【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P-1AP=diag(1， 2， n)=A1，其中 i，i=1，2， ，n 是 A 的特征值，且ij(ij) 又 AB=BA，故 P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，即 A1P-1BP=P-1BPA1 设 P-1BP=(cij)nn，则比较对应元素 icij=jcij，即( i-j)cij=0， ij(ij)得 cij=0，于是【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值方法一 利用特征
16、值的定义设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 则 A= T= 若 T=0，则 =0，0，故 =0；若 T0，式两端左乘 T， TT=(T)T=(T)因 T0，故=T= 方法二 利用 A2=AA=(T)(T)=(T)T= A 及特征值定义式两端左乘 A，得方法四 直接用 A 的特征方程(2)再求 A 的对应于 的特征向量方法一 当 =0 时，即解方程 a1x1+a2x2+anxn=0，得特征向量为 (设 a10) 1=a2，-a 1，0，0 T， 2=a3， 0，-a 1，0 T， n-=an，0，0，-a 1T由观察知 n=a1，a 2， anT 方法二 因为 A=T，=0 时，(E
17、A)X=- TX=0，因为满足 TX=0 的 X 必满足 TX=0，故 =0 时，对应的特征方程是a1x1+a2x2+anxn=0对应 =0 的 n-1 个特征向量为 1=a2，-a 1，0，0 T， 2=a3， 0，-a 1，0 T， n-1=an，0，-a 1T= =T，对特征矩阵E-A=TE-T 右乘 ，得 (E-A)=( TE-T)=(T)-(T)=0，故知=a1，a 2，a nT 即是所求 (3)由 1， 2， n，得可逆阵 P【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 (E+ T)= 左乘 T， T+(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则
18、 =1+T=3；若 T=0，则由式，1=1 时，(E-A)X=-TX= b1，b 2， bnX=0即b 1，b 2，b nX=0，因 T=2，故0,0，设 b10，则 1=b2，-b 1，0，0 T， 2=b3，0，-b 1，0 T， n-1=bn，0，0，-b 1T； =3 时， (3E-A)X=(2E- T)X=0， N=a1，a 2，a NT【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 取 P=1， 2， n-1， n=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA-(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)TO，即 A 是 n 阶幂零
19、阵(A 2=O)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 方法一 利用(1)A 2=O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2=A=2 因 A2=O，所以2=0， 0，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为 0 方法二 直接用特征值的定义 A= T=， 由式若 T=0，则 =0， 0，得 =0若 T0，式两端左乘 T，得 TT=(T)T=0.(T)=T，得 =0，故 A 的全部特征值为 0 方法三 利用特征方程E-A=0 因右端行列式中每一列的第 2 子列均成比例，故将行列式拆成 2n 个行列式时，凡取两列或两列以上第 2 子列的行列式均为零，
20、不为零的行列式只有 n+1 个，它们是方程组 Ax=0 的非零解即为 A 的特征向量不妨设 a10，b 10，有则 A 的对应于特征值 0 的特征向量为：，k 1，k n-1 为不全为零的常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n-rn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 是 A 的特征值，则 应满足E-A=0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘，第 n 列乘 加到第 1 列，再按第
21、1 列展开，得得证 =1， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 1， 2， n 互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于对换E-A的 1，2 列和 1，2 行，得故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故 AB 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因 A1=11，故【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 利用 Ai=ii 有 ，将 表成 1， 2， 3 的线性组合设 =x 11+x22+x33，即 解得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型的矩阵 A= ，则二次型 f 的矩阵表达式 f=xTAx【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 的特征多项式A-E=-(6+)(1-)(6-)，则 A 的特征值 1=-6， 2=1， 3=6 1=-6 对应的正交单位化特征向量 p1= 2=1 对应的正交单位化特征向量 p2= 3=6 对应的正交单位化特征向量 p3=令正交矩阵 P=p 1，p 2，p 3= 所求正交变换【知识模块】 线性代数
