1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( )2 A 是 n 阶矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，r( iE-A)=n-ri（D）A 是实对称矩阵3 设 ，其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C4 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A
2、 -1B -1 正确命题的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 已知 ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1，- 2， 3（B） 1， 2+3， 2-23（C） 1， 2， 3（D） 1+2， 1-2， 36 设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（A）AB ，但 AB（B） AB ，但 AB（C） AB ， AB，但 AB（D）AB，A B，且 AB7 下列矩阵中与 合同的
3、矩阵是 ( )8 实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f 和-f 合同，则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=09 设 A=E-2XXT，其中 X=x1，x 2，x nT，且 XTX=1，则 A 不是 ( )（A）对称阵（B）可逆阵（C）正交阵（D）正定阵二、填空题10 已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量，那么a=_11 已知 =1，3，2 T，=1，-1，-2 T，A=E- T，则 A 的最大特征值为_12 已知 A ，则 r(A-E)+r(2E+A)=_13 设 A
4、 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a，b 的值和正交矩阵 P16 已知 f(x1， x2，x 3)= 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种曲面17 已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并
5、且 AAT 正定的充要条件是 r(A)=m18 设矩阵 A= ，矩阵 B=(kE+A)2，求对角阵 A，使得 B 和 A 相似，并问k 为何值时，B 为正定阵19 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵证明：ATAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n20 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵21 证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定22 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆23 已知
6、f(x， y)=x2+4y+y2，求正交变换 P， ，使得24 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 其中 =1，1，-1 T，A *为 A 的伴随矩阵，求二次型 XTBX 的表达式25 设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H226 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同27 已知 R3 的两个基分别为求由基1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵 P28 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=1，1，2，3 T， 2=-1，1，4，-1 T， 3=5，-1，-8， 9T 是齐次线性方程组
7、Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基考研数学一（线性代数）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵，必相似于对角阵，(C) 有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A) ，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(E-A)=2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时， r(E-B)= =1，有两个线性无关特征向量，故 B能相似于对角阵，故选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角阵 有 n
8、 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iE-A)=n-r，即有 ri 个线性无关特征向量(共 n 个线性无关特征向量) (A)，(D)是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5 ，由于秩所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩所以，
9、=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B故 P -1A2P=B2， PTAT(PT)=BT， P -1A-1P=B-1， 所以 A2B 2，A TB T，A -1B -1又由于 A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ，P= 1， 2， 3，则有 AP=PA，即A1， 2， 3=1， 2， 3 即 A 1，A 2，A 3=a11，a
10、 22，a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3 线性无关 若 是属于特征值 的特征向量，则- 仍是属于特征值 的特征向量，故(A)正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2-23 仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 2-23 线性无关，故(B)正确 关于(C)，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2， 3 谁在前谁在后均正确即(C)正确 由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此1+2
11、， 1-2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D)错误【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E ijAEij=B其中因 Eij 是可逆阵，EijAEij=B，故 AB； E ij 可逆，且 Eij= ，故AB； E ij 是对称阵，【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因，故选(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，-f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 ，故有 p=p1，q=q 1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=p-q=p-p 1=0，故选
12、(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E-2XXT)T=E-2XXT=A，A 是对称阵； A 2=(E-2XXT)2=E-4XXT+4XXTXXT=E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A 是正交阵；AX=(E-2XXT)X=-X，X0，=-1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 -1【试题解析】 a 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1=0，于是=0A，即【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，
13、0，tr( T)，其中tr(T)=T=-6 故 A=E-T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 A ，存在可逆阵 P，使得r(A-E)=r(PAP-1-E)=r(P(A-E)P-1)=r(A-E)=r(A+2E)=r(P(A+2E)P-1)=r(A+2E)= 故 r(A-E)+r(A+2E)=1+2=3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3， 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3是可逆阵
14、，故 A=1， 2， 31， 2， 3-1=E【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 A=取公共部分，知 t 的取值范围是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 二次型的矩阵 A= ，其特征值 1=0， 2=1， 3=4由属于 1=0 的正交单位化特征向量p1= 属于 2=1 的正交单位化特征向量 p2= 属于3=4 的正交单位化特征向量 p3= 则所求正交矩阵 P=p1，p 2，p 3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A= ，r(A)=2， A=0，解得 c=3又E-A= =(-4)(-9)=0，得
15、1=0， 2=4， 3=9存在正交阵Q，令 X=QY，则 ，故 f(x1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT，所以 AAT 是对称阵 必要性 若 AAT 正定，r(AA T)=mr(A)，又 r(Amn)m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 ATX=0 只有零解，故对任意 X0，均有 ATX0，故 X TAATX=(ATX)T(ATX)0， 即 AAT 正定【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 E-A = =(-2)2，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 QTAQ=A1= ，A=Q
16、A 1QT，B=(kE+A) 2=(kE+QA1QT)2=(Q(kE+A1)QT)2=Q(kE+A1)2QT= 故 BA=当 k0，k-2 时，B 的特征值全部大于 0，这时 B 为正定阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵B TAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 0，当 0 时，有xTBx=xTx+xTATx=xTx+(Ax)T(Ax)=x 2+Ax 20故 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性 取 B=A-1，则 AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以 AB+BTA 是正
17、定矩阵 充分性用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量x00 使得 Ax0=0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AA4=E 有A 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或-1由A+B =0 有AB =-1 ，也有A T.B T=-1 再考虑到A T(A+B)BT=A T+BT=A+B，所以-A+B=A+B，A+B=0 故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 实对称矩阵 A与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同A 的特征向量是令【知识模块】 线性代数24 【正
18、确答案】 由条件知 A 的特征值为 2，-1，-1，则A =2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，-2，-2，由已知， 是 A*关于 =1 的特征向量，也就是 a 是 A 关于 =2 的特征向量由 得2ABA-1=2AB+4E B=2(E-A)-1，则 B 的特征值为-2，1，1，且B=-2设 B 关于 =1 的特征向量为 =x1，x 2，x 3T，又 B 是实对称阵， 与 正交，故 x1+x2-x3=0，解出 1=1，-1，0 T， 2=1，0，1 T，令【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得这里，0 12 n 为 A
19、 的全部特征值并且 H 仍为正定矩阵 如果存在另一个正定矩阵 H1，使得 A= ，对于 H1，存在正交矩阵 U1，使得令 则 ipij=jpij(i，j=1 ，2，n)，当 ij 时，p ij=0，这时 (i，j=1，2，n) ；当 i=j 时，当然有(i，j=1，2，n) 故即H=H1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 因为A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 令【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 1， 2， 3=1， 2， 3P，可得 P=1， 2， 3-11， 2， 3=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 先求 Bx=0 的基础解系由 r(B54)=2，有 Bx=0 的基础解系含 4-r(b)=2 个线性无关的解向量显然 1， 2 线性无关，则 1， 2 为 Bx=0 的一个基础解系 将 1， 2 正交单位化得 Bx=0 的解空间的一个标准正交基：【知识模块】 线性代数
