1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩降，且|A|=2，|B|=6，则 为( )（A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 设 n 维行向量 =( )，A=E T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T3 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆4 设 A，B 为 n
2、阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A1+B1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵5 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则|A|O 或|B|O6 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）|A|=|B|（B） |A|B|（C）若 |A|=0 则|B|=0（D）若|A|0 则|B|07 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为
3、 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题8 设 f(x)= ，则 x2 项的系数为 _9 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_10 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，|B|=b，则=_11 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_12 A= ，且 n2，则 An 一 2An1=_13 设 A= ，则(A+3E) 1(A
4、2 一 9E)=_14 A2 一 B2=(A+B)(A 一 B)的充分必要条件是_15 设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 =_16 设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 =_17 设 A 为四阶矩阵，|A *|=8，则 =_18 若矩阵 A= ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=O，则t=_19 设 A= ，则 A1=_20 设 A= ，则 A1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算行列式22 计算 D=23 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=0 24 设 A= ，且 AX+|A|E=A*+X，求 X25 设四阶
5、矩阵 B 满足 ，求矩阵 B26 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，求 B27 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X28 设 A= (ai0，i=1，2，n)，求 A1考研数学一（线性代数）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 246=一48，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(ET)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所
6、以|AB|0，于是AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为列称矩阵；由(A 1+B1)T=(A1)T+(B1)T=A1+B1，得 A1+B1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= O，显然 AB=O，故(A) 、(B)都不对，取 A= O，但|A|=O 且|B|=O，故(D)不对；由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=O，于是 B=O，所以选(C)【知识模块】 线性代数
7、6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t，使得 B=PsP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系
8、数为 23【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=1 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 =(1)mnab【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 3 n1【试题解析】 T=3，A 2=T T=3T=3A，则 An=3n1A=3n1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n1A，A
9、 n1=2n2A，所以 An 一 2An1=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) 1(A2 一 9E)=(A+3E)1(A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(AB)=A2+BAABB2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 |( A)1|=|2A1|=23|A|=2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A1=4A1 得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A
10、 为四阶矩阵，且|A *|=8，所以 |A*|=|A|3=8，于是|A|=2 又AA*=|A|E=2E，所以 A*=2A1，故 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2由 A=得 t=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知
11、识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=一 BA，AB= BA 两边左乘 A 得 AB=ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AX+|A|E=A*+X 得 (A E)X=A*一|A|E=A *一 AA*=(EA)A*， 因为|E A|=一 30，所以 E 一 A 可逆，于是 X=一 A*， 由|A|=6 得 X=一 6A1，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)1=【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 A 一 2E= 因为|A 一 2E|=一 10，所以 X=(A 一 2E)1A，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
