1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2|为( )（A）0（B） 54（C）一 2（D）一 242 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm3 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=44 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则(
2、)（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2 一 B2=(A+B)(AB)（D）|A|=05 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )6 设 A= ，则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P17 设 A=，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2AP1（D）B=P 1AP2二、填空题8 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式A 12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1=_9 设
3、三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B| 4，则|5A 一 2B|=_10 设 A= ，则(A *)1=_11 设 A= ，则(A2E) 1=_12 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*1=_ (用 A*表示)13 设 A= =_14 设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T，其中 a0，又 A=E 一 T，B=E+ T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_15 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_16 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_17
4、 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(A)=_18 P1= ，则 P12009P21=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 证明：D=20 设 D= (1) 计算 D； (2)求 M31+M33+M3421 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1；(2)(A+4E) 122 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=O，求(E A)123 设 A，B 为 n 阶矩阵，P= (1)求 PQ； (2)证明：当 P 可逆时， Q 也可逆24 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=|A|E证明：A=A *25 设 A 为 n 阶矩阵，且
5、 A2 一 2A 一 8E=0证明：r(4EA)+r(2E+A)=n26 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一27 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=0 考研数学一（线性代数）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以A 有特征值一 1， 于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2|=54，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B
6、)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=
7、AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B= =P1AP21，因为 P11=P1，所以应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5 2)一(2，2 1，2 2)=(5 一 2，3 1，3 2)，得 |5A2B|=|5 一 2，3 1，3 2|=9|5 一 2， 1， 2| =9(5|， 1， 2|一2|， 1， 2|)=63【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 |A|=10，因为 A*=
8、|A|A1，所以 A*=10A1，故(A *)1=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A1 得 (A *)*=|A*|(A *)1=|A|n1(|A|A 1)1=|A|n2A，故E(A*)*1=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为|A|=2，所以 A*A=|A|E=2E，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 由 AB=(E 一 T) T 一 T 一 2aT=E 且TO，得 一 12a=0，解得 a=1 【知识模块】 线性代数15 【
9、正确答案】 【试题解析】 由 A1BA=6A+BA，得 A1B=6E+B，于是(A 1E)B=6E，B=6(A 1 一 E)1= 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【试题解析】 因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23，因为 Eij1=Eij，所以 Eij2=E，于是 P12009P21=P
10、1P21=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)由 A2+2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， ACA+2E)=E ，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1= A (2)由 A2+2A3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E) 1= (A 一 2E)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 E k 一 Ak=(EA)(E+A+A2+Ak1)，又 Ek 一 Ak=E， 所以(E 一A)1=E+A+A2+Ak1【知识模块】
11、线性代数23 【正确答案】 (1)PQ= =|A|B|E(2)因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B0，而 PQ=|A|B|E，即【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 AA*|A|E，又已知 A2=|A|E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故A=A*【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A22A 一 8E=O 得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4EA)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有r(4EA)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故r(A)+r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=O ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=0【知识模块】 线性代数
