1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解（C）若 r(
2、A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2
3、 132+223，3 1+52535 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )6 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 E 一 AE 一 B7 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )8 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1，
4、2=0， 3=1，则下列结论不正确的是( ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量9 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1-3210 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1
5、为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵11 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵12 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）413 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A-1+B-1（C） A*+B*（D）AB二、填空题14 设 ，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_15 设 A 为 n 阶矩
6、阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 Ax=0 的通解为_.16 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_17 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_18 设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则 k=_，B =_ 19 20 21 22 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，则 4A*+3E=_23 24 设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值_，对应的特征向量为_.25 26 27 设 A 是三阶实对称矩阵，其
7、特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_28 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 求方程组 的通解。30 31 32 33 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系34 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0
8、的解 (1)求常数 a； (2)求方程组AX=0 的通解35 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解36 37 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?38 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?(2)a ，b 为何值时， 可唯一表示为1， 2， 3， 4 的线性组合 ?39 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向
9、量线性无关，且 1+22+(n 一 1)n-1=0，b= 1+2+ n (1)证明方程组AX=b 有无穷多个解； (2)求方程组 AX=b 的通解40 41 42 43 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)44 45 46 设 ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化考研数学一（线性代数）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)
10、=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则 ，即方程组 AX=b 一定有解，选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=AE=0，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解，又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为A*X=0 的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关
11、，所以选 (C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，于是 P-1(E 一 A)P=E 一 P-1AP 一 E 一 B，即 E 一 AEB；反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1(E 一 A)P=E 一 B，整理得 E 一 P-1AP=E 一 B，即P-1AP=B，即 AB，应选(
12、D)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有选(B)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0， 3=1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C
13、)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以，r(A) n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1+3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A( 1+3)=O1 一 23=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0， 因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33 一 1 及1+22+33 也不是特征向量，显然 21 一 32 为特征值 0 对应的特征向量，选(
14、D)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以
15、A=T0，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1， 令 AX=X，由 A2X=TTX=0=2X 得 =0，因为 r(0EA)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A-1，B -1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1+B-1 与 A*+B*都是正定矩阵，选(D) 【
16、知识模块】 线性代数部分二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)=n 一 1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=0 ，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 k
17、 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 k=1，B=0 【试题解析】 令 ，因为 B 的列向量为方程组的解且 B0，所以AB=0 且方程组有非零解，故A=0，解得 k=1因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3且 r(A)1，于是 r(
18、B)23，故B=0 【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 10【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 a=2，b=3【试题解析】 解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 4；【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+36a=0，a=3【
19、知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 x=3，y=1【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 2 一 3)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
20、部分32 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 (1)因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 (2)因为(1，一2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一 1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】
21、线性代数部分35 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性 方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31 一 3 一 5， 4=21+3+65 得方程组 AX= 0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)T， 2=(2，0， 1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一1)T+k2(2，0，1，一 1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为
22、AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 (1)【证明】因为 r(A)=n 一 1，又 b=1+2+ n，所以，即 ，所以方程组 AX=b 有无穷多个解 (2)因为 1+22+一+(n 一 1)n-1=0，所以 1+22+(n 一 1)n-1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T， 又因为 b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 n=(1，1，1) T， 故方程组
23、AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0) T+(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分42 【正确答案】 (1)D=A T=(a 4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)，若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T；(2) 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时，方程组通解为 X=k1(一a2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分43 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数部分44 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分45 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分46 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
