1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 一有唯一解（B）若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解（C）若
2、r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3
3、，2 1 一 32+223，3 1+52535 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )二、填空题6 设 A= (a0)，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 设 BO 为三
4、阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则 k=_，|B| =_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= ，则方程组 AX=b 的通解为 _12 设方程组 无解，则 a=_13 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解? 求其通解16 设 1= 的三个解，求其通解17 1= ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性
5、无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系19 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a； (2)求方程组AX=0 的通解20 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解21 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=，求方程组 AX=b 的通解22 A
6、nn=(1， 2， n)，B nn=(1+1， 2+3， n1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?23 设 1= (1)a，b 为何值时，B 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合? (2)a ，b 为何值时，B 可唯一表示为1， 2， 3， 4 的线性组合 ?24 设 N 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1+2+(n1)n1=0，b= 1+2+ n (1)证明方程组 AX=b有无穷多个解； (2)求方程组 AX=b 的通解25 设 A= ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX
7、=0 的通解26 就 a，b 的不同取值，讨论方程组 解的情况27 设 A= (1)若 aiaj(ij)，求 ATX=b 的解；(2)若 a1=a3=0，a 2=a4=一 a，求 ATX=b 的通解28 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)考研数学一（线性代数）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)= n，从而 r(A)n ，故方程组 AN=0 一定有非零解，选D
8、【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则，即方程组 AX=b 一定有解，选(D) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=|A|E=O，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X=0的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量
9、组皆为方程组 AXO 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1， 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 X= (C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以|A|=0， 而|A|= =一(a+4)(a6)且 a0，所以 a=一 4因为 r(A)=2，所以 r(A*)=1因为 A*A=|A|E=O，所以 A 的列向量组为 A*X
10、=0 的解，故 A*X=0 的通解为 X= (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为|A|=0，所以 r(A)，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n一 1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=|A|E=O，所以 A*的列向量为方程组 AN=0 的解向量，故 AN=0 的通解为C(Ak1，A k
11、2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AN=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A1=A 1=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1，0【试题解析】 令 A= ，因为 B 的列向量为方程组的解且 B0，所以AB=O 且方程组有非零解，故|A|
12、=0，解得 k=1因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3且 r(A)1，于是 r(B)23，故|B|=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 X= (k 为任意常数)【试题解析】 因为，r(A)=3 ，所以方程组 AN=b 的通解为 k+，其中 =3 一1=(2+3)一( 1+1)=(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是，r(A) 3，即|A|=0由|A|=3+2a 一 a*=0，得 a=一 1 或 a=3当 a=3 时，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 因为
13、原方程组有解，所以，r(A)= ，于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (其中 x3，x 4，x 5 为任意常数)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 X=k(11， 1)T+(2，2，0)(k 为任意常数 )【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2 一 1)+k(3 一 1)+= (k1，k 2为任意常数)【知识模块】 线性代
14、数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 AX=0x 11+x32+x330，由 3=31+22，可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6 (2)因为(1，一2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为
15、 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一 1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=3135， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)TT， 2=(2，0，1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一 1)T+k2(2，0，1，一 1，6) T(k1，k 2
16、为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 n 为奇数时，|B|0 ，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，|B|=0，方程组BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 x 11+x22+x33+x44= (*)(1)当 a=一 1，b0 时，因为 r(A)=2 =3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a一 1 时
17、， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)因为 r(A)=n 一 1，又 b=1， 2， n，所以 =n1， 即r(A)= =n 一 1n，所以方程组 AX=b 有无穷多个解 (2)因为 1+22+(n1)n1=0，所以 1+22+(n1)n1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T， 又因为 b=1， 2， n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T， 故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0)T+(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数25
18、 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)D=|A T|=(a4 一 a1)(a4a2)(a4 一 a3)(3 一 a1)(a3 一 a2)(a2a1)， 若aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程 组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T； (2) 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时，方程组通解为X=k1(一 a2，0，1，0) T+k2(0，一 a，0，1) T+(0，a2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s 线性无关，故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数
