1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P11AP1，P 21BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （A）
2、任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAx 与 XTA1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A
3、，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） |A|=|B|（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 A= ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空
4、题10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1x2)2+4x2x3 的矩阵为_11 设 1= ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_13 设 5x12+x22+tx32+4x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化15 设 A= (1)证明 A 可对角化； (2)求 Am16 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足
5、的条件17 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：A 不可以对角化18 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， 1= ，求 A19 设 = 的逆矩阵 A1 的特征向量求 x，y 并求 A1 对应的特征值 。20 设 A= 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a， b，c 和 A 对应的特征值 21 设 AB，A= (1)求 a，b； (2)求可逆矩阵 P，使得 P1AP=B22 设 A= 且 AB。(1)求 a； (2)求可逆矩阵 P，使得P1AP=B23 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x225x32+2
6、x1x22x1x3+2x2x324 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x325 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= (1)求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形； (2)求矩阵A26 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x324x1x28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+by224x32，求： (1) 常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x2
7、2+2x32+2x1x2(a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形28 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵) 求：(1) 二次型XTAX 的标准形； (2)|E+A+A2+An|的值29 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)= (1)记X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式； (2)二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2， ，x n)合同?30 设 C= ， (1)求 PTCP； (2) 证明：D 一BA1BT 为正定矩阵31 设二次型 f(x1，x
8、2，x 3)=x12+4x22+2x32+2Tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围32 设 A 是 N 阶正定矩阵，证明：|E+A|1考研数学一（线性代数）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数
9、，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令，则 f=y12 一 9y22；(B) 不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C) 不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A1 合同，所以 XTAX 与
10、XTA1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由|E 一 A|=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由|E 一 B|=0 得 B 的特征值为
11、1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以|A|=|B|=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22 一 4x1x2+4x2x3，所以A= 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A=【知识模块】 线性代数13 【正确答
12、案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A=10，|A|0，解得 t2 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2=T T=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一 r(OEA)n 一 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)由|E 一 A|=( 一 1)2(+2)=0 得 1=2=1， 3=
13、一 2当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1= 当 =一 2时，由(一 2EA)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 1= 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化(2)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由|E 一 A|= =(+1)( 一 1)2 得 1=一1， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1，由 E 一 A= 得 x+y=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以 kX=0，注意到 X0，故
14、k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0(n 重) 因为 r(OEA)=r(A)1，所以方程组(OEA)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得0=4，x=10，y=9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1=2=2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)=1，而 2EA= ，于是 a=5，再由 tr
15、(A)=tr(B)得 b=6(2)由(2E A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为3= 令 P= ，则 P1AP=B【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是a=0(2)由|EA= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，一1，1) T；当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =
16、一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得 1=(0，1，2) T；当 =1 时，由(E 一 g)X=0 得 1=(1，0，0) T；【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解，【知识模块】
17、 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)因为 A2=A，所以|A|E 一 A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n 一 r 重) ，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+yr2 (2)令B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r 重)，故 |E+A+A2+An|=|B|=(n+1)r【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)f(X)=(x 1，x 2，x n)因为 r(A)=n，所以|A|0，于是A*=A1，显然 A*， A1 都是实对称矩阵(2)因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(X)=XTAX 规范合同 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 二次型的矩阵为 A=【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10， 20， n0 ，因此 A+E 的特征值为1+11， 2+11， n+11，故|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数
