1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关2 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )3 设 A=(1， 2， m)，其孛 i 是 n 维列向量，若对于任意不全为
2、零的常数k1，k 2，k m，皆有 k11+k22+k mm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O4 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3， n+a1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A
3、 一定可逆5 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n7 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性
4、相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价9 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)
5、=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*10，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解 （C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 一 2) （D）AX=b 的通解为 k11+k22+(1+2)11 设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 A
6、X=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)12 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解13 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m
7、（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题14 设 1= ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_15 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_16 设 为非零向量，A= ，为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设向量组(I) 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 5，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组() 的秩为 4证明：向量组 1， 2，
8、3， 5 一 4的秩为 418 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆19 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是20 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系，P 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关21 设 1， 2， ， t 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， t 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， t 线性表示22 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak10，而 A
9、k=0证明：向量组 ，A ，A k1线性无关23 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；(2)设 1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量24 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 2 线性相关25 设齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解26 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 A
10、X=0 的通解27 a，b 取何值时，方程组 有解?28 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解29 设(I) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1= ，r(B)=2 (1)求方程组(I)的基础解系；(2) 求方程组(II)BX=0 的基础解系；(3)(I)与(II) 是否有公共的非零解? 若有公共解求出其公共解30 设(I) (1)求 (I)，(II)的基础解系； (2)求(I)，()的公共解考研数学一（线性代数）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
11、题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组
12、 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)
13、=n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)
14、，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表
15、示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n 一 1， 2 一 1 为
16、齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n 一 r(A)n一r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性代数13
17、【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 1， 2；【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=，则向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2，1【试题解析】 A ，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又 BO，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3，k(3，1
18、，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，方程组AX=0 的通解为 k(一 3，1，2) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为向量组(I)的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 一 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 一 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3，
19、 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A TA= ，r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n或A TA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是0【知识模块】 线性代数20 【正确
20、答案】 由 1， 2， t 线性无关， 1， 2， t 线性无关， 令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 即(k 1+k2+kt)+k11+ktt=0， ， 1， 2， t 线性无关 k 1=k2=kt=0， ， +1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 e1= ，则 e1，e 2，e n可由 1， 2， ，
21、 n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 l0+l1A+l k1Ak1=0(*)(*)两边同时左乘 Ak1 得 l0Ak1=0，因为 Ak10，所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak2 得 l1A=0，因为 Ak10，所以 l1=0，依次类推可得 l2=lk1=0，所以 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，
22、l 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=l11l22 令=k11+k22=l11l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2都 不全为零，所以 0 (2) 令 k11+k22+l11+l22=0，所以 =k13k2=一 k1+02【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A= ，因为 1， 2， n 与 1， 2 正交，所以A1=0， 1=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n 一 1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块
23、】 线性代数25 【正确答案】 D= =a+(n 一 1)b(a 一 b)n1(1)当 ab，a(1一 n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其通解为 X=k1(一 1，1，0，0) T+k2(一 1，0，1，0)T+kn1(一 1，0，0，1) T(k1，k 2，k n1 为任意常数)；(3)令 A=，当 a=(1n)b 时，r(A)=n1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)
24、当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9时，r(B)=1， 1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 C (C 为任意常数)；当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由 A(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (3)a=1，b= 一 1 时，通解为 X=k1(1，一 2，1，0) T+k2(1，一 2，0，1) T+(一1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 =0 有非零解，故方程组 AX=0与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)方程组(I) 的基础解系为 1= (2)因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量，取k2=k，则方程组(I)与方程组()的公共解为 k(一 1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
