1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32， 3，2 1)，则 P-1AP 等于( )2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（C
2、）若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得
3、QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题7 设 A= ， A0 且 A*的特征值为一 1，一 2，2，则a11+a22+a33=_8 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=一 ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，一 31，一 2)，则 P-1(A-1+2E)P=_9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_10 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，
4、A 是三阶方阵，且A1=1+2，A 2=2+3，A 3=3+1，则A=_11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2=(a，1，1a)T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_12 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_13 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (I) ，问 a，b，c 取何值时，(I) ，()为同解方程组 ?15 16 17 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组18
5、设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n(1)证明 =n；(2) 设1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明：1， 2， r， 1， 2， s 线性无关19 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=020 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)21 证明：r(A)=r(A TA)22 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= =rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r+1 个23 讨论方程组 的
6、解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b 为常数24 设 A= ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解?有解时求出全部解25 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r求 5E+A26 设 A= 相似于对角阵求： (1)a 及可逆阵 P，使得 P-1AP= 为对角阵； (2)A 10027 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵28 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201029 设 A= ，方程组 AX= 有解但不唯一(1)求 a；(2)求可逆矩阵 P，
7、使得 P-1AP 为对角阵； (3)求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵30 设矩阵 A= (1)若 A 有一个特征值为 3，求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵31 设矩阵 A= 为 A*对应的特征向量 (1)求 a，b 及 对应的 A*的特征值， (2)判断 A 可否对角化考研数学一（线性代数）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32，一 3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以PAP= ，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 令 A
8、= ，显然 A，B 有相同的特征值，而r(A)r(B)，所以 (A)，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是 XTATAX=TXTX，即( 一 1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值
9、为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化，【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *=A 2=4，且A0，所以A =2，又AA*
10、=AE=2E，所以 A-1= ，一 1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为一 2，一 1，1，于是 a11+a22+a33=一21+1=一 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而 P-1A-1P= 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 230【试题解析】 令 x11+x2A2(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即 (x 1+1x2+12x3)1+(2x2+22x3)2+32x33=0，则有 x 1+1x2+12x3=0， 2x2+22x3=0， 32x3=0，因为x1，x 2，x 3 只能全为零，所
11、以 0 230【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=一 1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，一a，1) T， 2=(a，1，1 一 a)T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2 一 a+1 一a=0，解得 a=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 由E 一 A= =(+1)( 一 1)2=0
12、得 1=一1， 2=3=1 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(E 一 A)=1，解得 a=4【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 A=，方程组(I)可写为 AX=b，方程组(II)、(III)可分别写为 ATY=0 及 =0若方程组(I)有解，则 r(A)=r(A：b) ，
13、从而 r(AT)= ，又因为()的解一定为( )的解，所以()与(III)同解；反之，若 ()与()同解，则 r(AT)= ，从而 r(A)=r(A：b)，故方程组(I) 有解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 则()可写为BY=0，因为 1， 2， n 为(I) 的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A 1=A2=A n=0A( 1， 2， n)=OAB T=OBA T=O 1， 2， n 为 BY=O 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系得通解为 k11T+k22T+knnT(k1
14、，k 2，k s 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， nr 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 不是方程组 BX=0 的解，即 B0，显然 1， 2， nr， 0 线性无关，若1， 2， nr， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr，k 0，使得 k11+k22+knrnr+k00=0，若 k0=0，则 k11+k22+knrnr=0，因为1， 2， nr 线性无关，所以 k1=k2=knr=0，从而 1， 2， nr，0 线性无关，所
15、以 k00，故 0 可由 1， 2， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， nr， 0 线性无关，且为方程组ABX=0 的解，从而 n 一 r(AB)n 一 r+1，r(AB)r 一 1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0 同解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)因为 n=r(CA+DB)= =n；(2)因为 =0只有零解，从而方程组 AX=0 与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则
16、 r(A)n，从而A=0， 于是 A*b=A*AX=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n 一 1 因为 r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量 由A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系 因为 A*b=0，所以易可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n 一 1n，即方
17、程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n 一r(AB)n 一 r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)， 所以r(AB)minr(A)，r(B) 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可 若 AX0=0，则ATA
18、X0=0 反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0(AX 0)T(AX0)=0AX 0=0， 所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n一 r 个线性无关的解向量，设为 1， 2， nr 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 =0， 1=1+0， 2=2+0， nr=nr+0，显然 0， 1， 2， nr为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+knrnr=0，即 (k 0+k1+knr)0+k11+k22+knrnr=0，
19、上式两边左乘 A 得(k 0+k1+knr)b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+knr=0，于是 k 11+k22+knrnr=0， 注意到1， 2， nr 线性无关，所以 k1=k2=knr=0， 故 0， 1， 2， nr 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n 一 r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设1， 2， nr+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解， 令 1=2 一 1， 2=3 一1， nr+1=nr+1 一 1，根据定义，易证 1， 2， nt+1 线性无关，又1， 2， ， nt+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n
20、 一r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n 一 r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 D= =一(a+1)(b+2)(1)当 a一 1，b一 2 时，因为D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A：B)，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A2=AA(EA)=Or(A)+r(EA)=nA 可
21、以对角化 由A2=A，得AE A=0，所以矩阵 A 的特征值为 =0，1 因为 r(A)=r，所以 =1 为 r 重特征值，=0 为 n 一 r 重特征值， 所以 5E+A 的特征值为 =6(r 重)，=5(nr 重) ，故 5E+A=5 nr6r【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)E 一 A=0 1=2=1， 3=一 1因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)=1a=一 2A= (EA)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，( 一 EA)X=0 基础解系为 3=(1，2，一 1)T，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=diag(1，1，一 1
22、) (2)P -1A100P=EA 100=PP-1=E【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)=1，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1， 3=4=一1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有所以 P-1A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以 A=0，从而 a=一 2或 a=1(2)由E 一 A=(+3)( 一 3)=0 得 1=0
23、， 2=3， 3=3由(0EA)X=0 得 1=0对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3EA)X=0 得 2=一 3 对应的线性无关的特征向量为 2= ；由(一 3EA)X=0 得 3=一 3 对应的线性无关的特征向量为3= ；【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)E 一 A=( 2 一 1)2 一(a+2)+2a 一 1，把 =3 代入上式得a=2，于是 A= (2)由E 一 A2=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=4=9当 =1 时，由(EA 2)X=0 得 1=(1，0，0，0)T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，一 1，1) T；当 =9 时，由(9EA 2)X=0 得4=(0， 0，1， 1)T【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有因为 r(2EA)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数
