[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷47及答案与解析.doc

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1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A= ,则 A 与 B( )(A)合同且相似(B)相似但不合同(C)合同但不相似(D)既不相似又不合同2 设 A 是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量 X,有 XTAX=O,则( )(A)A=0(B) A0(C) A0(D)以上都不对二、填空题3 f(x1,x 2,x 3,x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2,且 A2 一 2A=O,该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 A 为三阶矩阵, 1, 2, 3 是三维线性无关的列向量,且

2、A 1=一1+22+23,A 2=2123,A 3=21223 (1)求矩阵 A 的全部特征值; (2)求A *+2E5 设 A 为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B=(A*)2 一 4E 的特征值为 0,5,32求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化6 设 A= (1)求常数 a,b,c; (2)判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P-1AP为对角矩阵若不可对角化,说明理由7 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ,A 线性无关; (2)若 A2+A 一 6=0,求 A 的特征值,讨论 A 可否对角化;8 设 A 是三阶矩阵,

3、1, 2, 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足A1=2+3,A 2=1+3,A 3=1+2 (1)求矩阵 A 的特征值; (2)判断矩阵 A 可否对角化9 设 A,B 为三阶矩阵,且 AB=AB,若 1, 2, 3 为 A 的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA; (2) 存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP,P -1BP 同时为对角矩阵10 (1)若 A 可逆且 AB ,证明:A *B *; (2)若 AB,证明:存在可逆矩阵 P,使得 APBP11 设 A= 有三个线性无关的特征向量,求 a 及 An12 设方程组为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1, 2=一 2, 3=一 1 的

4、特征向量(1) 求 A; (2)求A *+3E13 设 A 为三阶实对称矩阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值,对应特征向量为(一 1,0,1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量; (2)求 A14 设 A= ,求 a,b 及正交矩阵 P,使得 PTAP=B15 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明: A,B 有公共的特征向量16 设 A 是 n 阶矩阵, 1, 2, n 是 n 维列向量,且 n0,若 A1=2,A 2=3,A n1=n,A n=0 (1)证明: 1, 2, n 线性无关; (2)求 A 的特征值与特征向量17

5、 设 A 为三阶方阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 的通解为,求 A18 A= ,求 a,b 及可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B19 设 A= ,求 A 的特征值与特征向量,判断矩阵 A 是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵 P 及对角阵20 设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)=n证明:A TA 的特征值全大于零21 设 A 为 n 阶正定矩阵证明:对任意的可逆矩阵 P,P TAP 为正定矩阵22 设 P 为可逆矩阵, A=PTP证明:A 是正定矩阵23 设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:A+B 为正定矩阵24 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y

6、222y32,且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 = ,求此二次型25 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数 a,b 及正交矩阵 Q26 设齐次线性方程组为正定矩阵,求 a,并求当XI= 时 XTAX 的最大值27 设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为正定矩阵28 设 A 为 m 阶正定矩阵,B 为 mn 阶实矩阵证明: BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学一(线性代数)模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只

7、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A,B 都是实对称矩阵,由E 一 A=0 ,得 A 的特征值为1=1, 2=2, 3=9,由E 一 B=0,得 B 的特征值为 1=1, 2=3=3,因为A,B 惯性指数相等,但特征值不相同,所以 A,B 合同但不相似,选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX,则 f=XTAX=1=0,同理可得 2=3=0,由于 A 是实对称矩阵,所以 r(A)=0,从而 A=0,选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2 一 2A=Or(A)+r(

8、2E A)=4A 可以对角化, 1=2, 2=0,又二次型的正惯性指数为 2,所以 1=2, 2=0 分别都是二重,所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 (1)A( 1, 2, 3)=(1, 2, 3) ,因为 1, 2, 3 线性无关,所以( 1, 2, 3)可逆,故 A =B由E 一 A=E一 B =一(+5)( 一 1)2=0,得 A 的特征值为一 5,1,1 (2)因为A=一 5,所以 A*的特征值为 1,一 5,一 5,故 A*+2E 的特征值为 3,一 3,一 3 从而A *+2E=27【知识

9、模块】 线性代数5 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1, 2, 3,因为 B=(A*)2 一 4E 的三个特征值为 0,5,32,所以(A *)2 的三个特征值为 4,9, 36,于是 A*的三个特征值为2,3,6又因为A *=36=A 31,所以A =6由=6,得 1=3, 2=2, 1=1,由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以 A-1 的特征值为 ,因为 A-1 的特征值都是单值,所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1)若 , A 线性相关,则存在不全为零的数 k1,k 2,使得k1+k2A=0,设 k20,

10、则 A=一 ,矛盾,所以 ,A 线性无关 (2)由A2+A 一 6=0,得(A 2+A6E)=0, 因为 0,所以 r(A2+A 一 6E)2,从而A 2+A6E=0,即 3E+A2EA =0 ,则3E+A =0 或2E A=0 若3E+A0,则 3E+A 可逆,由(3E+A)(2EA)=0 ,得 (2E A)=,即 A=2,矛盾; 若2EA0,则 2EA 可逆,由(2EA)(3E+A)=0 ,得 (3E+A)=0,即 A=一 3,矛盾,所以有3E+A=0 且2EA=0,于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3,2,故 A 可对角化 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1)因为 1, 2,

11、3 线性无关,所以 1+2+30, 由 A(1+2+3)=2(1+2+3),得 A 的一个特征值为 1=2; 又由 A(12)=一( 12),A( 23)=一( 23),得 A 的另个特征值为 2=一 1因为 1, 2, 3 线性无关,所以12 与 23 也线性无关,所以 2=一 1为矩阵 A 的二重 特征值,即 A 的特征值为 2,一 1,一 1 (2)因为 12, 23 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量,所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)由 AB=AB 得 AB 一 AB+E=E,(E+A)(EB)=E, 即 EB与 E+A 互为逆矩阵,

12、于是(E 一 B)(E+A)=E 一(E+A)(E 一 B), 故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1, 2, 3,所以 A 可以对角化,设 A 的三个线性无关的特征向量为 1, 2, 3,则有 A(1, 2, 3)=(1, 2, 3)diag(1, 2, 3), BA(1, 2, 3)=B(1, 2, 3)diag(1, 2, 3), AB( 1, 2, 3)=B(1, 2, 3)diag(1, 2, 3),于是有 AB i=iBi,i=1,2,3 若 Bi0,则 B 是 A 的属于特征值 i 的特征向量,又 i 为单根,所以有 Bi=ii; 若 Bi=0,则 i 是 B 的

13、属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况,B 都可以对角化,而且 i 是 B 的特征向量,因此,令 P=(1, 2, 3),则 P-1AP,P -1BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 逆,A,B 的特征值相同且A= B 因为 AB,所以存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B, 而A*=AA -1,B *=BB -1, 于是由 P-1AP=B,得(P -1AP)-1=B-1,即 P-1A-1P=B-1, 故 P-1 AA -1P=AB -1 或 P-1A*P=B*,于是 A*B * (2)因为 AB ,所以存在可逆阵 P,使得 P-1A

14、P=B,即 AP=PB, 于是 AP=PBPP-1=P(BP)P-1,故 APBP【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量,所以 A 一定可对角化,从而 r(EA)=1,【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解,所以即 2,一 1,一 2,A *+3E对应的特征值为 5,2,1,所以A *+3E=10 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)因为 A 的每行元素之和为 5,所以有又因为 AX=0 有非零解,所以 R(A)3,从而 A 有特征值 0,设特征值 0 对应的特征向量【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为

15、AB,所以 tr(A)=tr(B),A =B,即因为 AB ,所以矩阵 A,B 的特征值都为 1=1, 2=0, 3=6【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n,所以 r(A)n,r(B)n,于是 =0 为 A,B 公共的特征值, A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解; B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解, 因为零解,即 A,B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)令 x11+x22+xnn=0,则 x1A1+x2A2+xnAn=0x 12+x23+xn1n=0 x1A2+x2A3

16、+xn1An=0x 13+x24+xn2n=0 x1n=0 因为 an0,所以 x1=0,反推可得x2=xn=0,所以 1, 2, n 线性无关(2)A( 1, 2, n)=(1, 2, n)=B,则 A 与 B 相似,由 E 一 B=0 1= n=0,即 A 的特征值全为零,又r(A)=n 一 1,所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而An=0n(n0),所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5,所以有 ,即 A 有一个特征值为 1=5,其对应的特征向量为 1= ,A 1=51又 AX=0 的通解为,则

17、 r(A)=1 2=3=0,其对应的特征向量为1= ,A 2=0,A 3=0令 x11+x22+x33=,解得 x1=8,x 2=一1,x 3=一 2,则 A=8A1A2 一 2A3=8A1=40【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由E 一 B=0,得 1=一 1, 2=1, 3=2,因为 AB,所以 A的特征值为 1=一 1, 由 tr(A)=1+2+3,得 a=1,再由A =b= 123=一 2,得b=2,即 A= 由(EA)X=0,得 1=(1,1,0) T;由(EA)X=0,得 3=(一 2,1,1) T;由(2EA)X=0,得 3=(一 2,1,0) T,令 P1=由(一 E

18、一 B)X=0,得 1=(一 1,0,1) T;由(EB)X=0 ,得 2=(1, 0,0) T;由(2E B)X=0,得 3=(8,3,4) T,【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 E 一 A= =(+a 一 1)( 一 a)( 一 a 一 1)=0,得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a, 2=a, 3=1+a(1) 当 1aa,1 一a1+a,a1+a,即 a0 且 a 时,因为矩阵 A 有三个不同的特征值,所以 A 一定可以对角化(2)当 a=0 时, 1=3=1,因为 r(EA)=2,所以方程组(EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故矩阵 A 不可以对角化 (3

19、)当 a= ,因为 =0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵,r(A TA)=n,对任意的 X0,X T(ATA)X=(AX)T(AX),令 AX=,因为 r(A)=n,所以 0,所以(AX) T(AX)=T=20,即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型,A TA 为正定矩阵,所以 ATA 的特征值全大于零 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 首先 AT=A,因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP,所以 PTAP 为对称矩阵,对任意的 X0,X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)

20、,令 PX=,因为 P 可逆且 X0,所以 0,又因为 A 为正定矩阵,所以 TA0,即 XT(PTAP)X0,故 XT(PTAP)X为正定二次型,于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 显然 AT=A,对任意的 X0,X TAX=(PX)T(PX),因为 X0 且 P 可逆,所以 PX0,于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX20,即 XTAX 为正定二次型,故 A为正定矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A,B 正定,所以 AT=A,B T=B,从而(A+B) T=A+B,即A+B 为对称矩阵对任意的 X0,X T(A+B)X=XTAX+XTB

21、X,因为 A,B 为正定矩阵,所以 XTAX0,X TBX0,因此 XT(A+B)X 0,于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22 一 2y32,所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1, 3=一 2。由A= 123=一 2 得 A*的特征值为1=2=一 2, 3=1,从而 A*+2E 的特征值为 0,0, 3,即 为 A*+2E 的属于特征值3 韵特征向量,故也为 A 的属于特征值 3=一 2 的特征向量 令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 = ,因为 A 为实对称矩阵,所以有 1T=0,即 x1

22、+x3=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为其中A= ,所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是 A 的特征值为 1,1,4而E 一 A= 3 一(a+4)2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2),所以有 3 一(a+4) 2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一2b+2b2+2)=( 一 1)2( 一 4),解得 a=2,b=1 当 1=2=1 时,由(E 一 A)X=0 得 1=由 3=4 时,由(4E 一 A

23、)X=0 得 3= 显然 1, 2, 3 两两正交,单位化为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为方程组有非零解,所以 =a(a+1)(a 一 3)=0,即 a=一 1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵,所以 aii0(i=1,2,3),所以a=3当 a=3 时,由E A= =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1,4,10因为 A 为买对称矩阵,所以存在正交矩阵 Q,使得 f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32) 而当x= 时, y12+y22+y32=YTY=YTQTQT=(QY)T(QY)=XTX=X 2=2

24、所以当X = 时,X TAX的最大值为 20(最大值 20 可以取到,如 y1=y2=0, y3= )【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX,因为 A 是实对称矩阵,所以存在正交变换 X=QY,使得 f=X TAX= 1y12+2y22+ nyn2,其中i0(i=1,2,n), 对任意的 X0,因为 X=QY,所以 Y=QTX0, 于是f=1y12+2y22+ nyn20,即对任意的 x0 有 XTAX0,所以 XTAX 为正定二次型,故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 必要性:设 BTAB 是正定矩阵,则对任意的X0,X TBTABX=(BX)TA(BX)0,所以 BX0,即对任意的 X0 有 BX0,或方程组 BX=0 只有零解,所以 r(B)=n 充分性:反之,设 r(B)=n,则对任意的X0,有 BX0, 因为 A 为正定矩阵,所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0, 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,所以 BTAB 为对称矩阵, 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数

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