1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同2 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=O，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题3 f(x1，x 2，x 3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A2 一 2A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且
2、A 1=一1+22+23，A 2=2123，A 3=21223 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A *+2E5 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化6 设 A= (1)求常数 a，b，c； (2)判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由7 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A2+A 一 6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；8 设 A 是三阶矩阵，
3、1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化9 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=AB，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2) 存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵10 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP11 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 An12 设方程组为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=一 2， 3=一 1 的
4、特征向量(1) 求 A； (2)求A *+3E13 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A14 设 A= ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得 PTAP=B15 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量16 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若 A1=2，A 2=3，A n1=n，A n=0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量17
5、 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为，求 A18 A= ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B19 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵20 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零21 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵22 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵23 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵24 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y
6、222y32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 = ，求此二次型25 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q26 设齐次线性方程组为正定矩阵，求 a，并求当XI= 时 XTAX 的最大值27 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵28 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学一（线性代数）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
7、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由E 一 A=0 ，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由E 一 B=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX，则 f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而 A=0，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2 一 2A=Or(A)+r(
8、2E A)=4A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 (1)A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 A =B由E 一 A=E一 B =一(+5)( 一 1)2=0，得 A 的特征值为一 5，1，1 (2)因为A=一 5，所以 A*的特征值为 1，一 5，一 5，故 A*+2E 的特征值为 3，一 3，一 3 从而A *+2E=27【知识
9、模块】 线性代数5 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *=36=A 31，所以A =6由=6，得 1=3， 2=2， 1=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A-1 的特征值为 ，因为 A-1 的特征值都是单值，所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1)若 ， A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，设 k20，
10、则 A=一 ，矛盾，所以 ，A 线性无关 (2)由A2+A 一 6=0，得(A 2+A6E)=0， 因为 0，所以 r(A2+A 一 6E)2，从而A 2+A6E=0，即 3E+A2EA =0 ，则3E+A =0 或2E A=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2EA)=0 ，得 (2E A)=，即 A=2，矛盾； 若2EA0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0 ，得 (3E+A)=0，即 A=一 3，矛盾，所以有3E+A=0 且2EA=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A 可对角化 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1)因为 1， 2，
11、3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(12)=一( 12)，A( 23)=一( 23)，得 A 的另个特征值为 2=一 1因为 1， 2， 3 线性无关，所以12 与 23 也线性无关，所以 2=一 1为矩阵 A 的二重 特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1 (2)因为 12， 23 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)由 AB=AB 得 AB 一 AB+E=E，(E+A)(EB)=E， 即 EB与 E+A 互为逆矩阵，
12、于是(E 一 B)(E+A)=E 一(E+A)(E 一 B)， 故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA(1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 AB i=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 B 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii； 若 Bi=0，则 i 是 B 的
13、属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 逆，A，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B， 而A*=AA -1，B *=BB -1， 于是由 P-1AP=B，得(P -1AP)-1=B-1，即 P-1A-1P=B-1， 故 P-1 AA -1P=AB -1 或 P-1A*P=B*，于是 A*B * (2)因为 AB ，所以存在可逆阵 P，使得 P-1A
14、P=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故 APBP【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以即 2，一 1，一 2，A *+3E对应的特征值为 5，2，1，所以A *+3E=10 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有又因为 AX=0 有非零解，所以 R(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为
15、AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即因为 AB ，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值， A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解， 因为零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)令 x11+x22+xnn=0，则 x1A1+x2A2+xnAn=0x 12+x23+xn1n=0 x1A2+x2A3
16、+xn1An=0x 13+x24+xn2n=0 x1n=0 因为 an0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关(2)A( 1， 2， n)=(1， 2， n)=B，则 A 与 B 相似，由 E 一 B=0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又r(A)=n 一 1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的特征向量为 1= ，A 1=51又 AX=0 的通解为，则
17、 r(A)=1 2=3=0，其对应的特征向量为1= ，A 2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得 x1=8，x 2=一1，x 3=一 2，则 A=8A1A2 一 2A3=8A1=40【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由E 一 B=0，得 1=一 1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A的特征值为 1=一 1， 由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由A =b= 123=一 2，得b=2，即 A= 由(EA)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(EA)X=0，得 3=(一 2，1，1) T；由(2EA)X=0，得 3=(一 2，1，0) T，令 P1=由(一 E
18、一 B)X=0，得 1=(一 1，0，1) T；由(EB)X=0 ，得 2=(1， 0，0) T；由(2E B)X=0，得 3=(8，3，4) T，【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 E 一 A= =(+a 一 1)( 一 a)( 一 a 一 1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a， 2=a， 3=1+a(1) 当 1aa，1 一a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化(2)当 a=0 时， 1=3=1，因为 r(EA)=2，所以方程组(EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3
19、)当 a= ，因为 =0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0，X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T(AX)=T=20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以 ATA 的特征值全大于零 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)
20、，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX20，即 XTAX 为正定二次型，故 A为正定矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTB
21、X，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X 0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22 一 2y32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 2。由A= 123=一 2 得 A*的特征值为1=2=一 2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0， 3，即 为 A*+2E 的属于特征值3 韵特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=一 2 的特征向量 令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x1
22、+x3=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为其中A= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而E 一 A= 3 一(a+4)2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)，所以有 3 一(a+4) 2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一2b+2b2+2)=( 一 1)2( 一 4)，解得 a=2，b=1 当 1=2=1 时，由(E 一 A)X=0 得 1=由 3=4 时，由(4E 一 A
23、)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i=1，2，3)，所以a=3当 a=3 时，由E A= =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为买对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32) 而当x= 时， y12+y22+y32=YTY=YTQTQT=(QY)T(QY)=XTX=X 2=2
24、所以当X = 时，X TAX的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0， y3= )【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X TAX= 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)， 对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0， 于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 x0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 必要性：设 BTAB 是正定矩阵，则对任意的X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 充分性：反之，设 r(B)=n，则对任意的X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0， 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
