1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0。（B） a2。（C） -a2。（D）na 2。2 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O A=O 且 B=O。（B） A=O A=0 。（C） AB =0 A=0 或B=0 。（D）A=1 A=E。3 设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是 ( )（A）A T。（B） A2。（C） A*。（D）2A。4 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn
2、 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关。5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时，仅有零解。（B）当 nm 时，必有非零解。（C）当 mn 时，仅有零解。（D）当 mn 时，必有非零解。6 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量
3、，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )7 已知 =(1， -2，3) T 是矩阵 A= 的特征向量，则( )（A）a=-2，b=6 。（B） a=2，b=-5。（C） a=2，b=6。（D）a=-2，b=-6。8 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2； P-1AP； A T； 肯定是其特征向量的矩阵个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。9 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2
4、)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x3)2 的规范形为( )二、填空题10 设 A=(1， 2， 3)是三阶矩阵，且A=4 。若 B=(1-32+23， 2-23，2 2+3)，则B =_。11 设 =(1， 2，3) T，=(1， ，0) T，A= T，则 A3=_。12 已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，-1) T， 3=(-1，1，0) T，且 A1=(2，1) T，A 2=(-1，1) T，A 3=(3，-4) T，则 A=_。13 如果 =(1，2，t) T 可以由 1=(2，1，1) T， 2=(-1，2，7) T， 3=(1，-1，-4) T 线性表示，则
5、t 的值是_。14 已知方程组 有无穷多解，则 a=_。15 设 A= ，若 Ax=0 的解空间是二维的，则 n=_。16 已知矩阵 A= 的特征值的和为 3，特征值的乘积是-24，则b=_。17 已知 A= ， A*是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_。18 设 f(x，x)= ，则二次型的对应矩阵是 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 A= ，求 An。20 设 A=(1， 2， 3)为三阶矩阵，且A=1 。已知 B=(2， 1，2 3)，求 B*A。21 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。
6、证明： () *， 1， n-r 线性无关； ()*， *+1， *+n-r 线性无关。22 设矩阵 A=(a1，a 2，a 3， a4)，其中 a2，a 3，a 4 线性无关，a 1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组 Ax=b 的通解。23 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3。24 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 ()求 A 的特征值与特征向量； (
7、)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A。25 已知三元二次型 f=xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形。考研数学一（线性代数）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零。所以应选 A。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AB= AB=0 ，故有A=0 或B
8、=0，反之亦成立，故应选 C。取 A= ，则 AB=O，但 AO，AO，选项 A 不成立。取A= ，选项 B 不成立。取A=，选项 D 不成立。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为正交矩阵，所以 AAT=ATA=E，且A 2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 AT(AT)T=ATA=E，(A T)TAT=AAT=E，可知 AT 为正交矩阵。 由 A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E， (A 2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知 A2 为正交矩阵。 由 A*=AA -1= A AT，可得 A
9、 *(A*)T=AA T(AA)= A TATA=A TE=E， (A *)TA*=(AA)AA T=A TAAT=A 2E=E， 故 A*为正交矩阵。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1， 2， s)，则(A 1，A 2，A s)=AB。 若向量组1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A11，A 22，A s 也线性相关，故应选 A。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且r(AB)minr(A)，r(B)minm，n ，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存
10、在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知 21-(2+3)=(2，3，4，5) T 是Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有 所以 =-4，a=-2，b=6，故应选 A。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A()=A=2，即 必是 A2 属于特征值2 的特征向量。又 知 必是矩阵属于特征值 的特征向量。关于和 则不一定成立。这是因为 (P-1AP)(P-
11、1)=P-1A=P-1， 按定义，矩阵 P-1AP 的特征向量是 P-1。因为 P-1与 不一定共线，因此 不一定是 P-1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。 线性方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x1，x 2，x 3)=+14x1x2+4x1x3-4x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵 A 的特征根为12，-6 ，0。因此该二次型的正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1，所以
12、选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质B = -3+2，-2，5=5-3+2，-2，=5 -3， ，=5， ，=5A=20。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 A= T=，且矩阵的乘法满足结合律，所以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=，那么【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x
13、22+x33= 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t-5=0，即t=5。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 3【试题解析】 n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)= n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，所以 6-2a=0，即 a=3。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1 或 5【试题解析】 解空间是二维的，即 Ax=0 的基础解系由两个向量组成，因此 n-r(A)=2，即 r(A)=2，对矩阵 A 作初等行变换有由此可见 a=5 或
14、1 时，r(A)=2。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 -3【试题解析】 矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(-1)=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以 b=-3。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式E-A= =(-7)(-1)2 可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1。所以A=711=7。如果 A=，则有A*= ，因此 A*的特征值是 1，7，7。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。【知识模块】 线性代数
15、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 首先观察由此推测下面用数学归纳法证明此结论成立：当n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时，由数学归纳法知【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 根据题意可知 B=(1， 2， 3) =AP，其中 P=，则P =-2 且 P-1= ，所以B=AP=-2。于是 B*A=B.B -1.A=-2P-1.(A-1A)=-2P-1=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 假设 *， 1， n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得 c 0*+c11+cn-rn-r=0， (1
16、) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0*+c11+cn-rn-r)=c0A*+c1A1+cn-rAn-r=c0b， 其中 b0，则 c=0，于是(1)式变为 c 11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，与假设矛盾。 所以*， 1， n-r 线性无关。 ()假设 *， *+1， *+n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c0，c 1， cn-r 使 c 0*+c1(*+1)+cn-r(*+n-r)=0， 即 (c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r=0。 (2) 用矩阵 A 左
17、乘上式两边，得 0=A(c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r =(c0+c1+cn-r)A*+c1A1+cn-rAn-r =(c0+c1+cn-r)b， 因为b0，故 c0+c1+cn-r=0，代入(2)式，有 c 11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，则 c0=0。与假设矛盾。 综上，向量组 *， *+1， *+n-r 线性无关。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 已知 a2， a3，a 4 线性无关，则 r(A)3。又由 a1，a 2，a 3 线性相关可知 a1，a 2
18、，a 3，a 4 线性相关， 故 r(A)3。 终上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 4-3=1。又因为 a1=2a2-a3 a1-2a2+a3=0 (a1，a 2，a 3，a 4)=0，所以 x=(1，-2，1，0) T 是方程组 Ax=0 的基础解系。 又由b=a1+a2+a3+a4 可知 x=(1，1，1，1) T 是方程组 Ax=b 的一个特解。 于是原方程组的通解为 x=(1，1，1，1) T+c(1，-2，1，0) T，cR。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，则 A( 1+2+3)=(1+2+3
19、)。 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=1+2+3，于是有 (- 1)1+(-2)2+(-3)3=0。 因为 1， 2， 3 线性无关，故 -1=0，- 2=0，- 3=0，即1=2=3。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则 =3 是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=k(1，1，1) T，其中 k 是不为零的常数。 又由题设知 A1=0，A 2=0，即 A1=0.1，A 2=0.2，而且 1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征
20、向量，因此对应 =0 的全部特征向量为 k 11+k22=k1(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。 ()因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。 由施密特正交化法，取 1=1， 2=2- 再将 ， 2， 2 单位化，得令Q=(1， 2， 3)，则 Q-1=QT，且 QTAQ= =。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值。所以 3 是 A 的特征值，(1，2，1) T是与 3 对应的特征向量；-1 也是 A 的特征值，(1， -1，1) T 是与-1 对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x1，x 2，x 3)T，则有 由方程组解出 =0 的特征向量是(1，0，-1) T。则经正交变换 x=Qy，有 xTAx=yTy=【知识模块】 线性代数
