1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1-1AP1，P 2-1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 1，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 p-1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确的是( )（A）
2、任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）
3、A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B) （B） A= B（C） AB （D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 （A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A ，B 等价；(4)A =B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题10 二次型 f(x1，x 2，x
4、 3)=(x12x2)2+4x2x3 的矩阵为_11 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_13 设 5x12+x22+tx32+4x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 15 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 116 设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A2，A T+2A+3E 的特征值； (3)若A0 ，求 A-1，A *，EA -1
5、 的特征值17 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量18 19 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量20 21 22 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由23 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2， ，n
6、，证明：ABBA24 设 为 n 维非零列向量， (1)证明：A 可逆并求 A-1；(2)证明： 为矩阵 A 的特征向量25 26 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2) 求矩阵 A27 28 设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化29 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化30 31 设 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件32 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：
7、A 不可以对角化33 34 设 的逆矩阵 A-1 的特征向量求 x，y，并求 A-1 对应的特征值 35 36 37 38 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x339 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x340 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中 (1)求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；(2)求矩阵A41 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32-4x1x
8、28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形5y12+by22 一 4y32，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q42 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x22+2x32+2x1x2(a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形43 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵) 求：(1) 二次型XTAX 的标准形； (2)E+A+A 2+An的值44 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；(2)二次
9、型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2， ，x n)合同?45 46 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围47 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1考研数学一（线性代数）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)
10、不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 则 f=y12一 9y22；(B) 不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 O，不能保证其正惯性指数为 n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数部分4 【正确
11、答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=A，从而 A=(PT)-1AP-1=(P-1)TAP-1，A T=(P-1)TAP-1T=(P-1)TAP-1=A，选(B)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代
12、数部分8 【正确答案】 C【试题解析】 由E-A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由E-B=0 得 B的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以A=B= 一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A， B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 (B)【知识模块】 线性代数部分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
13、 线性代数部分13 【正确答案】 t2【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 设 AX=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E，所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=X 20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 (1)【证明】因为E 一 AT=(EA) T=E 一 A ，所以AT 与 A 的特征值相等 (2)因为 A=0(0)， 所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)，
14、于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3 (3)因为A= 12 n0，所以 00，由 A=0 得 ， 【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)，因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1 一 )X1+(2 一 )X2=0，而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 令 aT=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X0，
15、所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k 得 1= n-1=0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E 一 A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案
16、】 (1)一般情况下，AB 与 BA 不等价，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB与 BA 不等价(2) 【证明】因为A=n!0 ，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有P-1ABP=BA，故 ABBA【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 (1)因为 3 为 A 的特征值，所以 3EA=0，解得 y=2(2)(AP)T(AP)PTATAP=PTA2P，【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 (1)A 2 一 3A=0 A3EA=0=0，3，因为 r(A)=1，所以 1=3， 2=3=0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为(x 1
17、，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一x3=0，则 0 对应的特征向量为 1=(一 1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 由(aE-A)(bE-A)=O，得aE-AbE-A=0，则aEA =0或者bE-A=0又由(aE-A)(bE-A)=0 ，得 r(aEA)一 r(bEA)n同时 r(aE-A)+r(bEA)r(aE-A)-(bEA)=r(a 一 b)E=n所以 r(aE-A)+r(bEA)=n(1)若aE-A0 ，则 r(aE-A)=n，
18、所以 r(bEA)=0，故 A=bE(2)若bEA0，则 r(bEA)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE(3)若aE-A=0 且bEA=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个；方程组(bE A)X=0 的基础解系含有 n-r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A一定可以对角化【知识
19、模块】 线性代数部分29 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2=T?T=0，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 A0， 因为 r(OEA)=r(A)1，所以 n-r(OEA)n-1【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 (1)【证明】由E-A =(-1) 2(+2)=0 得 1=2=1， 3=一 2【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分32 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 【知识模块】
20、 线性代数部分34 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 (1)由 AB+B=0 得(E+A)B=0，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+
21、A)X=0 的解，【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 矩阵 A 的特征值为 1=5， 2=b， 3=一 4，【知识模块】 线性代数部分42 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分43 【正确答案】 (1)因为 A2=A，所以AEA =0，即 A 的特征值为 0 或者1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0 (n-r 重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+yr2 (2)令B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故E+A+A 2+An=B=(n+1) r【知识模块】 线性代数部分44 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分45 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分46 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分47 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
