1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A= ，且A =m，则B=( )（A）m。（B） -8m。（C） 2m。（D）-2m 。2 设 A=E-2T，其中 =(x1，x 2，x n)T，且有 T=1。则 A 是对称矩阵； A2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。3 设 A= ，那么(P -1)2010A(Q2011)-1=( )4 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由
2、1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A） 1， 2， 1 线性无关。（B） 1， 2， 2 线性无关。（C） 2， 3， 1， 2 线性相关。（D） 1， 2， 3， 1+2 线性相关。5 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解。（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解。6 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k
3、1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（A）k 11+k2(1+2)+（B） k11+k2(1-2)+（C） k11+k2(1+2)+（D）k 11+k2(1-2)+7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A-2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（A）。（B） A+2。（C） A2-A。（D）A 2+2A-3。8 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E-A=E-B 。（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量。（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵。（D）对任意常数
4、 t，tE-A 与 tE-B 相似。9 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似。（B）合同但不相似。（C）相似但不合同。（D）等价，合同且相似。二、填空题10 设 A 为奇数阶矩阵，且 AAT=ATA=E。若A0，则A-E=_。11 与矩阵 A= 可交换的矩阵为 _。12 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_。13 设 1=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，-2) T，若 1=(1，3，4) T 可以由1， 2， 3 线性表示，但是 2=
5、(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则a=_。14 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r(A*)=_。15 设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_。16 设矩阵 A 与 B= 相似，则 r(A)+r(A-2E)=_。17 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 已知 A= ，且 AX+X+B+BA=0，求 X2006。19 设 ， 为三维列向量
6、，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。20 设 1， 2， ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可由它们线性表示。21 设 A= ()求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对() 中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性无关。22 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1=t11+t22， 2=t12+t23， s=tss+t21， 其中 t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。23 设矩
7、阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A是否可相似对角化。24 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A5-4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证1 是矩阵 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为 () 求 A；() 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。考研数学一（线性代数）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列
8、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=-2 A=-2m。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E-2T)T=ET-(2T)T=E-2T=A，成立。 A 2=(E-2T)(E-2T)=E-4T+4TT=E-4T+4(T)T=E，成立。 由 、，得 A2=AAT=E，故A 是正交矩阵，成立。 由 知正交矩阵是可逆矩阵，且 A-1=AT，成立。 故应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q
9、 均为初等矩阵，因为 P-1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的第一、三两行，所以 P 2010A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而(P -1)2010A=P2010A=A。又(Q 2011)-1=(Q-1)2011，且 Q-1= ，而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以 A(Q-1)2011 表示把矩阵A 第二列的各元素 2011 倍加到第一列相应元素上去，所以应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关，且 2 不能由 1， 2， 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线
10、性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0)T， 3=(0，0， 1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 1=1，知选项 A 与 C 错误。 对于选项D，由于 1， 2， 3 线性无关，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则 1+2 可由1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由 1， 2， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r(A)=r=m。由于r(A：b)m=
11、r，且 r(a：b)minm，n+1=minr，n+1=r ，因此必有 r(A：b)=r，从而 r(A)=r(A：b)，此时方程组有解，所以应选 A。由 B、C 、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。 对于选项 D，虽然 1-2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。 事实上，对于选项 B，由于 1， 1-2 与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示 )，故1， 1-2 也是齐次线
12、性方程组的一组基础解系，而由可知 是齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2-3A=0。故 (A+3E)(A 2-A)=0=0(A2-A)。 因为，A，A 2 线性无关，必有 A2-A0，所以 A2-A 是矩阵 A+3 层属于特征值=0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量。所以应选 C。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，
13、但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。 综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1AP=B， 于是 P -1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B， 可见对任意常数 t，矩阵 tE-A 与 tE-B 相似。所以应选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij=B，E ijB=C， 故 C=E ijB=EijAEij。 因 Eij=EijT=Eij-1，故 C=EijAE
14、ij=Eij-1AEij=EijTAEij，故 A 与 C 等价，合同且相似，故应选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 A-E=A-AA T=A(E-A T)=A.E-A T= A .E-A。 由 AAT=ATA=E，可知A 2=1，因为A0，所以A=1 ，即A-E=E-A。 又 A 为奇数阶矩阵，所以 E-A=-(A-E)=- A-E =- E-A，故A-E=0。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 ，其中 x2 和 x4 为任意实数【试题解析】 设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得即 x3=-2x2，x 1=4x2+x4，所以B=
15、，其中 x2 和 x4 为任意实数。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -1【试题解析】 根据题意， 1=(1，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2) T 不可以由 ， 线性表示，则方程组x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=-1 时，方程组 x+x+x= 有解，方程组 x11+x22+x33=2 无解，故 a=-1。【知识模块】 线性代数
16、14 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 n-r(A)2，即 r(A)3。又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 Aij 恒为零，即 A*=O，所以 r(A*)=0。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足 ，故矩阵 A 一定有一个特征值为 5。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所
17、以 r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 令 ，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y1y2 是合同的，故有相同的合同规范形。二次型 f=y1y2 的矩阵为 ，所以原二次型的正、负惯性指数均为 1，故原二次型的合同标准形为【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X=-B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=-(A+E) -1B(E+A)， 故 X 2006=(A+E)-1B2006(E+A)=
18、(A+E)-1(E+A)=E。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A=T+T，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3。 因为 ， 为三维列向量，所以存在三维列向量 0，使得 T=0， T=0， 于是 A=T+T=0， 所以 Ax=0 有非零解，从而 r(A)2。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 必要性：a 1，a 2，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)=n。对任一 n 维向量 b，因为 a1，a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a1，a 2，a n，b 线性相关。 综上所述 r(a1，a 2，a n，b)=n。 又因为
19、 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2， ，a n 线性表示，则单位向量组：1， 2， n 可由 a1，a 2，a n 线性表示，即 r( 1， 2， n)=nr(a1，a 2，a n)， 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，有 r(a1，a 2，a n)n。 综上，r(a 1，a 2， an)=n。所以 a1，a 2，a n 线性无关。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 对增广矩阵(A： 1)作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系(1，-1，2) T 和 A
20、x=1 的特解 (0，0，1) T。故 2=(0，0，1) T+k(1，-1，2) T，其中 k 为任意常数。A 2= ，对增广矩阵(A 2： 1)作初等行变换，有得 A2x=0 的基础解系(-1，1，0) T，(0，0，1) T 和 A2x=1 的特解 。故 3= +t1(-1，1，0) T+t2(0，0，1) T，其中 t1，t 2 为任意常数。 () 因为所以1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 i(i=1，2，s)是 1， 2， ， s 的线性组合，且1， 2， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i(i=1， 2， ，s)均为
21、Ax=0 的解。 从 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n-r(A)。 以下分析 1， 2， s 线性无关的条件： 设 k11+k22+kss=0，即(t1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1ks)s=0， 由于 1， 2， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 当时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0。因此当 s 为偶数且t1t2，或当 s 为奇数且 t1-t2 时， 1， 2， s 线性无关。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为E-A= =(-2)(2-8+18+3a)。如果 =
22、2 是单根，则 2-8+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即a= 。则矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而 r(4E-A)=2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化。 如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代入 2-8+18+3a=0 可得 a=-2。于是 2-8+18+3a=(-2)(-6)。则矩阵 A 的特征值是2，2，6，而 r(2E-A)=1，故 =2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有A31=1，A 51=1，故 B 1=(A5-
23、4A3+E)1=A51-4A31+1=-21， 即 1 是矩阵 的属于特征值-2 的特征向量。 由关系式 B=A5-4A3+E 及 A 的三个特征值1=1， 2=2， 3=-2 得 B 的三个特征值为 1=-2， 2=1， 3=1。 设 1， 2 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2、 3 正交，即 。 因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为B 的全部特征向量为 k1，其中 k10，k 2，k 3 不同时为零。()令 P=(1， 2， 3)=，于是【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 由题意知 QTAQ=，其中 = ，则 A=QQT,设 Q的其他任一列向量为(x 1，x 2，x 3)T。因为 Q 为正交矩阵，所以即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1=(=1，0，1) T， 2=(0，1，0) T。把 1 单位化得 1= (-1，0，1) T，所以()证明：因为(A+E) T=AT+E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵。 又因为 A 的特征值为1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
