1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)，且A=1，B =2，则A+B=( )（A）9。（B） 6。（C） 3。（D）1。2 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（A）A+b 是对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。（C） A*+B*是对称矩阵。（D）A-2B 是对称矩阵。3 设 A=。则必有( )（A）AP 1P2=B。（B） AP2P1=B。（C） P1P2A=B。（D）P 2P1A=B。4 已知
2、 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 若 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。5 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 =r(A)，则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解。（B） Ax= 必有唯一解。（C） =0 仅有零解。（D） =0 必有非零解。6 设有齐
3、次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(n)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。7 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10。（B） 20。（C） 1=0。（D） 2=0。8 n 阶矩阵 A
4、和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件。（B）必要而非充分条件。（C）充分而非必要条件。（D）既非充分也非必要条件。9 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的秩。（B） A 与 B 有相同的特征值。（C） A 与 B 有相同的特征向量。（D）A 与 B 有相同的行列式。二、填空题10 设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= ，则A+E=_。11 设方阵 A 满足 A2-A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则 (A+2E)-1=_。12 设 A= ，r(A)=2，则 a=_。13
5、 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=m，r( 1， 2， s，)=m+1，则 r(1， 2， s， ，)=_。14 设 1=(6， -1，1) T 与 2=(-7，4，2) T 是线性方程组 的两个解，则此方程组的通解是_。15 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。16 已知 A= 有三个线性无关的特征向量，则 x=_。17 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy，其中 B= ，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 已
6、知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A 3x=3Ax-2A2x。 () 记 P=(x，Ax，A 2x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP-1； ( )计算行列式A+E。19 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明20 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表示。21 设 A= 。已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。
7、()求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解。22 设 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k1+k2+ks=1。证明 x=k11+k22+kss 也是方程组的解。23 设矩阵 A= 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P-1AP=A。24 已知矩阵 A= 有特征值 =5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q-1AQ=A。25 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2。()求实数a 的值；()求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。考研数学一（线性代数）模拟试卷 51 答案与解析一、选择
8、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+B=(1+3， 2+1， 3+2， 1+2)，结合行列式的性质有 A+B = 1+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2( 1+2+3)，2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3，-3， -1， 1+2 =2 2，- 3，- 1， 1+2 =2 1， 2， 2， 1+2 =2(A+B )=6。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 (A+B) T=AT+BT=A+B，(Bk) T=kBT=kB， 所以
9、有 (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B， 从而选项 A、D 是正确的。 首先来证明(A *)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。 (A*)T 在位置 (i，j)的元素等于 A*在(j，i) 位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i ，j)位置的元素等于 AT 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aij=aij，则该元素仍为元素aij 的代数余子式 Aij。从而(A *)T=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，同理，B *也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T=BTAT=B
10、A，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。 所以应选 B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】
11、因为 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，所以 1， 2， 3， 4 必线性相关。 若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0， 2，0) T， 4=(0，0，1) T，则1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 ( 1， 1+2， 2+3)( 1， 2， 2+3)( 1， 2， 3)， (4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)， 所以r(1， 1+2， 2+3)=r(1
12、， 2， 3)，r( 4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)， 则当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，可得 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4 可以由 1， 2， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 齐次线性方程必有解(零解)，则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B 。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知， =r(A)n【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题
13、解析】 由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明， 正确：对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数(即 r(B)，故r(A)r(B)。对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即n-r(A)=n-r(B)，从而 r(A)=r(B)。【知识模块】 线性代
14、数7 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0，则(k 1+k21)1+k222=0。 因为 1， 2 线性无关，所以 k1+k21=0，且 k22=0。 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时1， A(1+2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+2)线性无关，则必然有 20(否则，1 与 A(1+2)=11 线性相关)，故应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 E-B= E-P -1AP=P -1(E-A)P =P -1E-AP=E-A， 即 A 与 B 有相同的特征值。 但当 A
15、，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似。例如虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于 r(A)r(B)，A，B 不可能相似。 所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 A2-A-2E=O，可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有(A+2E) -1(A+2E)(A-3E)=-4(A
16、+2E)-1，因此 (A+2E) -1= (A-3E)。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有当 a=0 时，r(A)=2。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 m+1【试题解析】 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=m，表明向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示，但是 r(1， 2， s，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得 ( 1， 2， s， ，)=(1， 2， s，0，)， 因此可得 r(1， 2， s，)=m+1。【知识模块】 线性代
17、数14 【正确答案】 (6，-1 ，1) T+k(13，-5 ，-1) T，k 为任意常数【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r(A)= 3 。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式所以一定有 r(A)2，因此必有 r(A)= =2。 由 n-r(A)=3-2=1可知，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知 1-2=(6，-1，1) T(-7，4 ，2) T=(13，-5，-1) T 是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，则方程组的通解为 x=(6，-1，1) T+k(13，-5，-1) T，k 为任意常
18、数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A( 1， 2)=(A1，A 2)=(1， 2) 记P=(1， 2)，因 1， 2 线性无关，故 P=(1， 2)是可逆矩阵。由 AP= ，可得 P-1AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。因为所以 A 的非零特征值为 1。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程E-A= =(-1)(2-1)=0，可得 A 的特征值是 =1(二重 )，=-1 。 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 -1必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E-A)=3-2=1，根据【知识模块
19、】 线性代数17 【正确答案】 -2【试题解析】 合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=xTAx 的正、负惯性指数均为 1 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有A =-(a-1) 2(a+2)=0。 若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。 若 a=-2，则由E-B=(-3)(+3)得 B 的特征值为 0，3，-3，此时正、负惯性指数均为 1。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 () 令等式 A=PBP-1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A(x，Ax ，A 2x)=(Ax，A 2x，A 3x)=(
20、Ax，A 2x，3Ax-2A 2x)=(x，Ax ，A 2x)所以 B= ()由()知 AB，那么 A+EB+E，从而A+E=B+E = =-4。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)当 r(A)=n 时，A0，则有 A*=A n-10，从而 A*可逆，即 r(A*)=n。 (2) 当 r(A)=n-1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1。 又因 r(A)=n-1 时，有A=0，且由 AA*=AE 知 AA*=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)n， 把 r(A)=n-1 代入上式，得 r(A*)1。
21、 综上所述，有 r(A*)=1。 (3)当 r(A)n-2 时，A的所有 n-1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而 r(A*)=0。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，且由 1， 2， 3=10，知 1， 2， 3 线性无关，所以， 1， 2， 3 线性相关，即 1， 2， 3= =a-5=0，解得 a=5。()本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C。所以 C=(1， 2， 3)-1(1， 2， 3)=因此( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数
22、21 【正确答案】 () 因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)= n。于是 A= =(+1)(-1)2=0。解得 =1 或 =-1。 当 =1时，r(A)=1， =2，此时线性方程组无解。当 =-1 时，若 a=-2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =-1，a=-2。 ()当 =-1，a=-2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为+k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有Ai=b(i=1，s)。 因为 k1+k2+ks=1，所以 Ax=A(k
23、11+k22+kss) =k1A1+k2A2+ksAs =b(k1+ks)=b， 由此可见 x 也是方程组的解。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=-4，=y 是A 的特征值。 因为 =-4 是 A 的特征值，所以解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。当 =5 时，解方程(A-5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、单位化得： 当 =-4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 ，单位化得： 则 P-1AP=。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由5E-A =
24、 =3(4-a2)=0，可得 a=2。 当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式E-A=(-2)(-5)(-1)，矩阵 A 的特征值是 1，2，5。 由(E-A)x=0得基础解系 1=(0，1，-1) T；由(2E-A)x=0 得基础解系 2=(1，0，0) T；由(5E-A)x=0得基础解系 3=(0，1，1) T。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是1， 2， 3。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 ()A TA= ，由 r(ATA)=2 可得A TA=(a+1)2(a2+3)=0，所以 a=-1。()由()中结果，令矩阵 B=E-B= =(-2)(-6)=0，解得矩阵 B 的特征值为 1=0， 2=2， 3=6。 由( iE-B)x=0，得对应特征值 1=0， 2=2， 3=6 的特征向量分别为 1=(-1，-1 ，1) T， 2=(-1，1，0) T， 3=(1，1，2) T。 将 1， 2， 3 单位化可得： 则正交变换x=Qy 可将原二次型化为 。【知识模块】 线性代数
