1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆； A-E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。2 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0。（B）当 mn，必有行列式AB=0。（C）当 nm，必有行列式AB0。（D）当 nm，必有行列式AB=0。3 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列
2、结论中不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0。（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。4 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2-4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3。则 r(1， 2， 3， 4， 5)=( )（A）1。（B）
3、2。（C） 3。（D）4。5 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 ，则自由变量可取为 x 4，x 5； x3，x 5； x 1，x 5； x 2，x 3。 那么正确的共有( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。6 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A nx=0 和(2)A n+1x=0，现有四个命题： (1)的解必是(2)的解； (2)的解必是(1) 的解； (1)的解不是(2)的解； (2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。7 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列选项中不正确的是
4、( )（A）矩阵 A-E 是不可逆矩阵。（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似。（C）矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交。（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。8 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( )9 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零。（B）存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=E。（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C-1C。（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同。二、填空题10 设三阶行列式 D3 的第二行元素分别为 1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则 D3=_。11 设三阶方阵 A 与 B
5、相似，且2E+A =0 。已知 1=1， 2=-1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB =_。12 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则(B-2E) -1=_。13 已知 A= ，则秩 r(AB+2A)=_。14 从 R2 的基 1= 的过渡矩阵为_。15 设 A= ， A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。16 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似，则 a=_。17 设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E-xxT 的秩为_。18 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A-6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的
6、取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，求矩阵 B。20 已知 r(a1，a 2，a 3)=2， r(a2，a 3，a 4)=3，证明： ()a 1 能由 a2，a 3 线性表示； ()a 4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。21 设 A= ，当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B，并求所有矩阵 C。22 设方程组 与方程(2)x 1+2x2+x3=a-1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。23 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的
7、三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。 () 求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使得 P-1AP=A。24 设 A，B 为同阶方阵。()若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；()举一个二阶方阵的例子说明() 的逆命题不成立；()当 A，B 均为实对称矩阵时，证明()的逆命题成立。25 证明：二次型 f(x)=xTAx 在x=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。考研数学一（线性代数）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有(A-E)B
8、=A。若 A 可逆，则(A-E)B=A-EB=A0 ，所以B 0 ，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题正确。因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。对于命题，用分组因式分解，即AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，所以得 A-E 恒可逆，命题正确。所以应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且r(AB)minr(A)，r(B)minm，n ，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0 ，所以应选 B。
9、【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A，因为齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 只有零解，故 1， 2， s 线性无关，选项 A 正确。 对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。 选项C 是教材中的定理。 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。 综上可知，应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有( 1，
10、2， 3， 4)=(1， 2， 3， 4)(1， 2， 3， 4)C。 因四个四维向量 1， 2， 3， 4 线性无关，故 1， 2， 3， 40，即 A=(1， 2， 3， 4)是可逆矩阵。A 左乘C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r(1， 2， 3， 4， 5)，而故知 r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3，因此应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 n-r(A)=5-3=2，故应当有两个自由变量。由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与 r(A)不相等，故 x4，x
11、5 不是自由变量。同理，x 3，x 5 不能是自由变量。而 x1，x 5 与x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0。 所以应选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An+1=A(An)=A0=0，即若 是(1) 的解，则 必是(2)的解，可见命题正确。 如果 An+1=0，而 An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面有： 若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式的两边得 kAn=0。由 An0 可知必有 k=0。类似地可得 k1=k2=kn=0。因此，A ，A 2，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+
12、1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 An+1=0 时，必有 A n=0，即(2)的解必是(1) 的解。因此命题正确。 所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，所以矩阵 A-E 的特征值是-1，0，-2 。由于 =0 是矩阵 A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆。 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。(或由 A +EA+E 而知 A+E 可相似对角化)。 由矩阵 A 有一个特征值等于0 可知 r(A)=2，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基
13、础解系由 n-r(A)=3-2=1 个解向量构成。 选项 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，r(A)=1，r(B)=2 ，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr(A)=9， tr(B)=6，故 A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，-3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，-3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。 事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于
14、A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 ，故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r(A)=p+qn，当 q=0 时，有r(A)=pn。此时有可能 pn ，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型。因此矩阵 A不一定是正定矩阵。例如 f(x1，x 2，x 3)= 。 选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P-1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要
15、的。 选项 C中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与层合同，也就没有 A是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。 关于选项 D，由于 A 正定 A -1 正定 A*正定 A*与 E 合同，所以 D 是充分必要条件。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 -4【试题解析】 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3=a21A21+a22A22+a23A23=1(-3)+(-2)2+31=-4。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=0，可得-2EA=0，即 =-2 是 A 的一
16、个特征值。 因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1=1， 2=-1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1=1， 2=-1， 3=-2，则 E+2B 的三个特征值分别为3，-1， -3。从而可得 A= 123=2，E+2B =3(-1)(-3)=9 ，故 A+2AB=A(E+2B) =A.E+2B=18。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有 (A-3E)(B-2E)=6E。从而【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 因为
17、 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。 对 A 作初等行变换，则因此可得r(AB+2A)=2。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 根据定义，从 R2 的基 1=的过渡矩阵为 P=(1， 2)-1(1， 2)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k 1(1，2，-1) T+k2(1，0，1) T，k 1，k 2 是任意常数【试题解析】 A=0，且 r(A)=2，所以 r(A*)=1，则由 n-r(A*)=2 可知，A *x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k11+k22。又因为A*A=AE=O，所以矩阵 A 的
18、列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k 1(1，2，-1)T+k2(1，0，1) T。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即(3E-A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵3E-A 的秩为 1。 可见 a=-2。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 E-xxT 的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E-xxT)=2。
19、【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3-2A2-5A+6E=O。设 A 有特征值 ，则 A 满足条件 3-22-5+6=0，将其因式分解可得 3-22-5+6=(-1)(+2)(-3)=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，-2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k-2，k+3，且当 k2 时， kE+A 的特征值均为正数。故 k2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE，知A *=A n-1，因此有8=A= A 3，于是A=2。 在等式 ABA-1=BA-
20、1+3E 两边先右乘 A，再左乘A*，得 2B=A*B+3A*A，即 (2E-A*)B=6E。 于是 B=6(2E-A*)-1=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 ()r(a 1，a 2，a 3)=23 a1，a 2，a 3 线性相关； 假设 a1 不能由a2，a 3 线性表示，则 a2，a 3 线性相关。 而由 r(a2，a 3，a 4)=3 a2，a 3，a 4 线性无关a2，a 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述，a 1 必能由 a2，a 3 线性表示。 ()由()的结论， a1 可由 a2，a 3 线性表示，则若 a1 能由 a1，a 2，a 3 线性表示 a4 能由a2，a
21、3 线性表示，即 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(a2，a 3，a 4)=3 矛盾，故 a4 不能由a1，a 2，a 3 线性表示。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 C= ，则由 AC-CA=B 得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当 a=-1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 AC-CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为即 C= (其中c1，c 2 为任意常数)。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组(1) 与(2)的公共
22、解。 对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(n-1)(a-2)=0。当 a=1 时， ，此时方程组(3)的通解为 k(-1，0，1) T(k 为任意常数)，此即为方程组(1)与(2) 的公共解。当 a=2 时，A，此时方程组(3)有唯一解(0，1，-1) T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 由已知可得 A(1， 2， 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+3)=(1， 2， 3) 记 P1=(1， 2， 3)，B= ，则有 AP1=P1B。由于1， 2， 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 P1-1AP1
23、=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则E-B = =(-1)2(-4)，矩阵 B 的特征值是 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4。 ()由(E-B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1=(-1， 1，0) T， 2=(-2，0，1) T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3=(0，1，1) T。令 P2=(1， 2， 3)=即当 P=P1P2=(1， 2， 3)=(-1+2， -21+3， 2+3)时，有 P-1AP=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，则 E-B=E-P
24、-1AP=P -1EP-P-1AP =P -1(E-A)P=P -1E-AP=E-A 。 所以 A、B 的特征多项式相等。()令 A=，那么E-A= 2=E-B 。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B=O，从而 A=POP-1=O 与已知矛盾。也可从 r(A)=1，r(B)=0，知 A 与 B 不相似。 ()由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有所以存在可逆矩阵 P，Q ，使 P-1AP=Q-1BQ。 因此有(PQ -1)-1A(PQ-1)=B，矩阵 A 与 B 相似。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ -1=diag(1， 2， n)=A， 其中 1， 2， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大。 作正交变换 y=Qx，即 X=Q-1y=QTy，则 f=xTAx=yTQAQTy=yTy=， 因为 y=Qx，所以当 x=1 时，有 x 2=xTx=yTQQTy=y 2=1， 又当y1=1， y2=y3=yn=0 时， f=1，所以 fmax=1。【知识模块】 线性代数
