1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆。（B） E-A 不可逆，E+A 可逆。（C） E-A 可逆，E+A 可逆。（D）E-A 可逆， E+A 不可逆。2 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r(A*)=1，则 a=( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）1 或 3。3 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3，4，7，-1) T， 3=(2，6，a，6) T， 4=(0，1，3，a)T，
2、那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。（C）必要而非充分条件。（D）既不充分也非必要条件。4 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。5 已知 1=(1， 1，-1) T， 2=(1，2，0) T 是齐次
3、线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是 ( )（A）(1 ，-1，3) T。（B） (2，1，-3) T。（C） (2，2，-5) T。（D）(2 ，-2，6) T。6 三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为( )7 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值。（B）至少是 A 的二重特征值。（C）至多是 A 的二重特征值。（D）一重、二重、三重特征值都有可能。8 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA ； A2 B2； A TB T； A -1B -1。 正确的个数为( )（A）1。（
4、B） 2。（C） 3。（D）4。9 已知实二次型 f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2 正定，矩阵 A=(aij)33，则( )（A）A 是正定矩阵。（B） A 是可逆矩阵。（C） A 是不可逆矩阵。（D）以上结论都不对。二、填空题10 已知三阶行列式 _。11 设 A= ，且 A，B，X 满足(E-B -1A)TBTX=EX-1=_。12 已知 n 阶矩阵 A= ，则 r(A2-A)=_。13 向量 =(1，-2 ，4) T 在基 1=(1，2，4) T， 2=(1，-1，1) T， 3=(1，3，9
5、) T 下的坐标是_。14 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为 _。15 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_。16 设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=(1，2，1) T， 2=(1，-1，1) T，则特征值 2 对应的特征向量是_。17 设 =(1， 0，1) T，A= T，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 n 阶矩
6、阵 A= 证明：行列式 A=(n+1)a n。19 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag(1，1，1，8)，且 ABA-1=BA-1+3E，求 B。20 设向量组 a1，a 2 线性无关，向量组 a1+b，a 2+b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a1，a 2 线性表示。21 设线性方程组 已知(1，-1，1，-1) T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解。22 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1=(2，-1，a+2，1) T， 2=(-1，2，4，a+8) T。 ()求方程组(1)的一个基础解系； () 当 a 为何值时，方程组
7、(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。23 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= 。求 a，b 的值及矩阵P，使 P-1AP=B。24 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T。 () 将向量 =(1，1，3) T 用 1， 2， 3 线性表示； ( )求 An。25 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同。考研数学一（线性代数）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解
8、析】 已知(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E。 故 E-A，E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 伴随矩阵秩的公式为 可见 r(A*)=1 r(A)=3。对矩阵 A 作初等变换，有若 a=3，则 A，r(A)=3 ；若 a=2，则 A ，r(A)=4 ；若a=1，则 A ，r(A)=3。 所以 a=1 或 3 时，均有 r(A*)=1。因此应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量的线性相关性一般用行列式 1， 2， n是否为零判断。因为 1， 2， 3，
9、 4=当 a=8 时，行列式 1， 2， 3， 4=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式 1， 2， 3， 4=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=(1， 2， n)，B=(1， 2， ， n)，则有( 1， 2， n)=(1， 2， n)表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ-1，即( 1， 2， ， n)=(1， 2， n)Q-1，表明向量组 1， 2，
10、 n 可由向量组 1， 2， ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。 类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。 下例可表明选项 C 的命题不正确。设 A= ，则 P、Q 均为可逆矩阵，且 但 B 的行(列)向量组与 A 的行(列)向量组不等价。 对于选项 D，若 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A
11、选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解。 由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1， 2 线性表示，也即方程组 x11+x22= 必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，-5) T 不能由 1， 2 线性表示。所以应选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 设方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 作初等行变换，有因为 r(A)=2，而 =3，所以方程组无解，即三个平面没有公共交点。又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n 2=(2，3，1)，n 3=(1，-1 ，-2)互
12、不平行。所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱。所以应选 C。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r(A)=1，即 R(0E-A)=1， (0E-A)x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 A=0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 A= ，r(A)=1，但 =0 是三重特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因 A-B，可知存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，于是 P -1A2P=B2，P TAT(PT)-1=BT，P -1A-1P=B-1， 故 A 2
13、B 2，A TB T，A -1B -1。 又由于A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 f=(a 11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2 =xTATAx=(Ax)T(Ax)。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f0 的充要条件是Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列
14、)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由(E-B -1A)TBTX=E，得B(E-B -1A)TX=E，即(B-A) TX=E，因此 X-1=(B-A)T=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2-A=A(A-E)，且矩阵 A= 可逆，所以r(A2-A)=r(A-E)，而 r(A-E)=1，所以 r(A2-A)=1。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设向量 在基 1， 2， 3 下的坐标是(x 1，x 2，x 3)T，则由x11+x22+x33= 可得线性方程组 解得x1= ，x
15、 3=1，因此 在基 1， 2， 3 的坐标是【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1+k1(2-1)+k2(3-1)，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 1， 2， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2-1， 3-1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 n-r(A)=2，故 2-1， 3-1是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1(2-1)+k2(3-1)，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则
16、A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。 由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3A，故 1=2=3=2。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 t(-1 ，0， 1)T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值 2 的特征向量是 t(-1，0，1) T，t0 。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 k0 或 k-2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1，且 tr(A)=T=2，故矩阵 A 的特征值是2，0，0，从而矩阵 kE+A 的特征值是 k+2
17、，k，k。矩阵 B=(kE+A)*= kE+A (kE+A)-1 的特征值是 k2，k(k+2) ，k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k2 0 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k-2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 数学归纳法。以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an。 当 n=1 时，D 1=2a，结论成立。当 n=2 时，D2= =3a2，结论成立。假设结论对小于 n 的情况成立，将 Dn 按第一行展开，则有 Dn=2aDn-1- =2aDn-1-a2Dn-2=2anan-1-a2(n-1)an-2
18、=(n+1)an，故 A=(n+1)a n。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 在 A*= AA -1 两端取行列式可得A *=A 4A -1= A 3，因为 A*=diag(1，1，1，8)，所以A *=8，即A=2。由 ABA-1=BA-1+3E 移项并提取公因式得，(A-E)BA -1=3E，右乘 A 得(A-E)B=3A，左乘 A-1得(E-A -1)B=3E。 由已求结果A=2，知因此 B=3(E-A -1)-1=diag(6，6，6，-1)。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 a1， a2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常
19、数 k1，k 2，使 k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，则有(k 1+k2)b=-k2a1-k2a2。 又因为a1，a 2 线性无关，若 k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0，这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有k1a1+k2a20，(k 1+k2)b0。 综上 k1+k20，因此由(k 1+k2)b=-ka1-k2a2 得 b=a2， k1，k 2R，k 2+k20。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 将(1，-1，1，-1) T 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得()当 = 因为 r(A)= =24，所以方程组有无穷多解，其通解为( ，1，0，0) T+
20、k1(1，-3，1，0) T+k2(-1，-2，0，2) T，其中k1，k 2 为任意常数。() 当 因 r(A)= =34，所以方程组有无穷多解，其通解为 (-1，0，0，1) T+k(2，-1，1，-2) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 对方程组(1) 的系数矩阵作初等行变换，有则 n-r(A)=4-2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系。 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 11+k22=l11+l22，
21、其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数。 由 k11+k22-l11-l22=0，得齐次方程组 对方程组(3) 的系数矩阵作初等行变换，有当 a-1 时，方程组(3)的系数矩阵变为 。可知方程组(3)只有零解，即 k1=k2=l1=l2=0，于是 =0，不合题意。当 a=-1 时，方程组(3)系数矩阵变为，解得 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2。 于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)2=l11+l22。 所以当 a=-1 时，方程组(1) 与(2)有非零公共解，且公共解是 l 1(2，-1，1，1) T+l2(-1，2，4，7) T，l 1，l 2 为任意
22、常数。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=-2。由矩阵 A 的特征多项式E-A = =2-4-5，得 A 的特征值是 1=5， 2=-1。它们也是矩阵 B 的特征值。 分别解齐次线性方程组(5E-A)x=0 ，(-E-A)x=0 ，可得到矩阵 A的属于 1=5， 2=-1 的特征向量依次为 1=(1，1) T， 2=(-2，1) T。 分别解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0，可得到矩阵 B 的属于 1=5， 2=-1 的特征向量分别是 1=(-7，1) T， 2=(-1，1) T。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 设 x11+x22+x33=，即 解得 x1=2，x 2=-2，x 3=1，故 =21-22+3。 ( )A=2A 1-2A2+A3，则由题设条件可得An=2An1-2An2+An3=21-22n2+3n3=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩 C1，使得 B1= 。同理，存在可逆矩 C2，使得 B2=。【知识模块】 线性代数
