1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACB=E。（B） CBA=E。（C） BAC=E。（D）BCA=E。2 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1。（B） rr 1。（C） r=r1。（D）r 与 r1 的关系依 C 而定。3 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线
2、性无关。（B）任意 r 个行向量线性无关。（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。4 设 1， 2， 3 是三维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为( )5 设 A= ，方程组 Ax=0 有非零解。 是一个三维非零列向量，若 Ax=0的任一解向量都可由 线性表出，则 a=( )（A）1。（B） -2。（C） 1 或-2。（D）-1 。6 设 则三条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点
3、的充分必要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关。（B） 1， 2， 3 线性无关。（C） r(1， 2， 3)=r(1， 2)。（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关。7 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值( )8 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )9 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（A）A -1 正定。（B） A 没有负的特征值。（C） A 的正惯性指数等于 n。（D）A 合同于单位矩阵。二、填空题10 行列式 =_。11 设 A= ，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_。12 已知 A= ，且 AXA*=
4、B，r(X)=2，则a=_。13 设 1=(1， 2，-1 ，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T，若由 1， 2， 3形成的向量空间的维数是 2，则 a=_。14 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=(2，0，0，0) T，3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 Ax=b 的通解是_。15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_。16 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤。17 证明： =anxn+an-1xn-1+a1x+a0。18 已知 AB=A-B，证明：A，B 满足乘法交换律。19 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个向量 ak(2km)，使ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示。20 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。21 设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1=(1，1，1，0，2)T， 2=(1，1，0，1，1) T， 3=(1，0，1，1，2) T。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1=(1，1，-1 ，-1，1) T，
6、 2=(1，-1 ，1，-1， 2)T， 3=(1，-1，-1，1，1) T。求()线性方程组 (3) 的通解；()矩阵 C=(AT，B T)的秩。22 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A。23 已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。24 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn(xn+y
7、n=1)。( )求关系式中的矩阵 A；()设目前农村人口与城镇人口相等，即25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= () 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；() 若二次型 f 的规范形为 ，求 a 的值。考研数学一（线性代数）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知A(BC)=E 或(AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项，应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】
8、因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。所以应选 C。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由基 1， 3 到 1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵 M 满足(1+2， 2+3， 3+1) 所以选 A。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A
9、x=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r(A)=2。 由方程组 Ax=0 有非零解可得A=(a-1) 2(a+2)=0，即 a=1 或-2。当 a=1 时，r(A)=1，舍去；当 a=-2 时，r(A)=2。所以选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 x 1+y2+3=0 (2)有唯一解。由(2)式可得 3=-x1-y2。而方程组(2)(或(1)有唯一解 3 可由 1， 2 线性表示，且表示式唯一。 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关
10、。 所以应选D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)-1 的特征值。因此 的特征值为 3 。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。 选项 C 是秩为 1 的矩阵，由 E-A= 3-42，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1 可知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解
11、系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次线性方程组(E-A)x=0 只有 3-2=1 个线性无关的解，即 =1 时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 A -1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA-1C=E，两边求逆得到 C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=E，即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定
12、义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 -2(x 3+y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA -1 可得(A *)-1=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得B=0，则【知识模块】 线性代数13 【正确答案】
13、6【试题解析】 由题意知向量组 1， 2， 3 线性相关，而其中两个向量线性无关，所以 r(1， 2， 3)=2，对 1， 2， 3 组成的矩阵作初等行变换则 a-6=0，且a=6。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 ( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T，后为任意常数【试题解析】 由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4-r(A)=1 个解向量。又因为 ( 1+2+23)-(31+2)=2(3-1)=(0，-4，-6，-8) T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为(0，2，3，4) T，由 A( 1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，可知(1+
14、2+23)是方程组 Ax=b 的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 -1【试题解析】 A 的特征多项式为E-A= =(+1)2， 所以矩阵 A 的特征值是-1，且为三重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，故 r(-E-A)=1， 因此 a=-1。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=(-aE+ATA)T=-aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x TBx=xT(-aE+ATA)x=-axTx+
15、xTATAx=-axTx+(Ax)TAx0， 其中(Ax) T(Ax)0，x Tx0，因此 a 的取值范围是-a0，即a0。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 本题可利用递推法证明。=xDn+(-1)2n+2a=xDn+a0。显然D1=an，根据上面的结论有 左边=xD n+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=xnD1+an-1xn-1+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=右边，所以，命题成立。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 AB=A-B 可得 E+A-B-AB=E，即 (E+
16、A)(E-B)=E，这说明 E+A与 E-B 互为逆矩阵，所以(E-B)(E+A)=E ，将括号展开得 BA=A-B，从而可得AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为向量组 a1，a 2，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1+2a2+ mam=0。 因 1， 2， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k0，且 k+1= m=0。 当 k=1 时，代入上式有 1a1=0。又因为a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1。 当 k0 且 k2 时，有因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k 线性表示。【知识模块】
17、线性代数20 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1)T，于是方程组的通解为 x=k 11+kn-1n-1，其中 k1，k n-1 为任意常数。 当 a0时，对矩阵 B 作初等行变换，有当 a=时，r(A)=n-1n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 线性
18、方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k11+k22+k33；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l11+l22+l33；线性方程组(3) 的解是方程组(1) 和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k 11+k22+k33=l11+l22+l33，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组(4)的一个基础解系是(-2 ， 0，2，-1，0，1) T。将其代入(4)得到方程组(3) 的一个基础解系 =-21+22=-1+3=(0，-2，0，2，0) T。所以方程组(3)的通解为 x=K(0，-1，0，1，0) T，其中 K 为任意常数。 ()线性方程组 (3) 与线性方程组xT(AT，B T)=
19、0 等价，而方程组(3) 的基础解系只含一个向量，故矩阵 C=(AT，B T)的秩 r(C)=5-1=4。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的特征多项式为=(-2n+1)(-n+1)n-1，则 A 的特征值为 1=2n-1， 2=n-1，其中 2=n-1 为 n-1 重根。 当 1=2n-1 时，解齐次方程组( 1E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系 1=(1， 1，1) T。 当 2=n-1 时，齐次方程组( 2E-A)x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(-1，1，0， 0)T， 3=(-1，0，1，0)T， ， n=(-1，0，0， ，1)
20、T，则 A 的特征向量是 k11 和 k22+k33+knn，其中 k10，k 2，k 3，k n 不同时为零。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则 A=，于是 An=n。用 右乘 A4+2A2+A2+2A=O，得( 4+23+2+2)=0。 因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(+2)(2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或-2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r()=2，所以 A 的特征值是 0，-2，-2。因 A，则有 A+EA+E=，所以 r(A+E)=r(A
21、+E)=3。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 由题意，人口迁移的规律不变 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn，y n+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn，用矩阵表示为得A 的特征值为 1=1， 2=r，其中 r=1-p-q。 当 1=1 时，解方程(A-E)x=0 ，得特征向量 p1= 当 2=r 时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量 p2= 令 P=(p1，p 2)=，则 P-1AP= =，A=PP -1，A n=PAnP-1。于是【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 二次型的矩阵为 A= ，则有所有特征值是 1=a， 2=a-2， 3=a+1。() 若规范形为 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于 a-2aa+1，所以 a-2=0，即 a=2。【知识模块】 线性代数
