1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2=E，则(E+BA -1)-1=( )（A）(A+B)B。（B） E+AB-1。（C） A(A+B)。（D）(A+B)A。2 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（A）r(A)=m，r(B)=m。（B） r(A)=m，r(B)=n 。（C） r(A)=n，r(B)=m 。（D）r(A)=n，r(B)=n 。3 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1-2， 2-3
2、， 3-1。（B） 1-2， 2+3， 3+1。（C） 1+2，3 1-52，5 1+92。（D） 1+2， 21+32+43， 1-2-23。4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在。（B）仅含一个非零解向量。（C）含有两个线性无关的解向量。（D）含有三个线性无关的解向量。5 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） -1A n。（B） -1A。（C） A。（D）A n。6 已知三阶矩阵 A
3、的特征值为 0，1，2。设 B=A3-2A2，则 r(B)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）不能确定。7 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）x T(A+B)x。（B） xTA-1x。（C） xTB-1x。（D）x TABx。二、填空题8 设 n 阶矩阵 A= ，则A=_。9 设 A= =_。10 设 A= ， B 是三阶非零矩阵，且 AB=0，则 a=_。11 已知向量组 1=(1，2，-1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为_。12 方程组 有非零
4、解，则 k=_。13 若 ，则 X=_。14 已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，-2) T，A=E- T，则 A 的最大的特征值为_。15 若二次曲面的方程为 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为 ，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算 n 阶行列式 ，其中 。17 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明： ()若A=0，则A *=0 ； ()A *= A n-1。18 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak-10。证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的。19
5、设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1， n-r+1。是它的 n-r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 11+kn-r+1n-r+1，其中 k1+kn-r+1=1。20 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；() 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。21 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c的值。22 设矩阵 A= ，行列式A=-1，又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为 =(-1，-1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值。23 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=3=1，对
6、应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A。24 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 ，熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 ()求 的关系式并写成矩阵形式：() 验证 1= 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；() 当25 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。考研数学一（
7、线性代数）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 (E+BA -1)-1=(AA-1+BA-1)-1=(A+B)A-1-1 =(A-1)-1(A+B)-1=A(A+B)，所以应选 C。 注意，由(A+B) 2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)-1=(A+B)。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r(AB)=m。又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m
8、。故选 A。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， ( 1-2)+(2+3)-(3+1)=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。 对于选项 C，可设1=1+2， 2=31-52， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由 1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1-52，5 1+92 必线性相关。因而用排除法可知应选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 可知，A *中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个
9、 n-1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n-1。又因Ax=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r(A)n，从而 r(A)=n-1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x(x0)是与 A 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A*，结合 A*A=AE 得 A *Ax=A*(x)， 即 Ax=A *x，从而 可见 A*有特征值 =-1A 。所以应选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵
10、 P，使得 于是 P-1BP=P-1(A3-2A2)P=P-1A3P-2P-1A2P=(P-1AP)3-2(P-1AP)2 则矩阵B 的三个特征值分别为 0，0，-1，故 r(B)=1。所以选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零。设 Apj=jpj，则 A-1pj= pj，A -1 的 n 个特征值(j=1，2，n)必都大于零，这说明 A-1 为正定阵， xTA-1x 为正定二定型。 同理，x TB-1x 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 x 都有 xT(A+B)x=
11、xTAx+xTBx0，这说明 xT(A+B)x 为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 xTABx 未必为正定二次型。【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 -2(n-2)!【试题解析】 把第二行所有元素乘以-1 加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以 2 加到第二行相应的元素上，可得【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 A=1，B=(2-1)(3-1)(3-2)=2，所以 A，B 均可逆，则也可逆。由 A*A=AA*=AE 可得A *=A 2-1=1，同理可得B *= B 3-1=4，且【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解
12、析】 因为 AB=O，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 B0，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A=0 。而【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (-，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令 A=( 1， 2， 3)=则对任意的 t，r(A)=3 是恒成立的，即向量组线性无关。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 -1【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 =12(k+1)=0，因此得 k=-1。【知识模块】 线性代数13 【正确答
13、案】 ，其中 x2，y 2 是任意常数【试题解析】 矩阵可得线性方程组 故 x1=2-x2，y 1=3-y2，所以 其中 x2，y 2 是任意常数。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 7【试题解析】 因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中 tr(T)=T=-6。所以 A=E-T 的特征值为1，1，7，则 A 的最大的特征值为 7。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2+3y2+z2+2axy+2x+2yz 经正交变换后化为了 。 由正交变换的特点可知，该二
14、次型的特征值为 1，4，0。由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 A= ，即可得A=-(a-1) 2=0，因此 a=1。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 则将该行列式按第一行展开得再将上式中后面的 n-1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=(+)Dn-1-Dn-2，则 Dn-Dn-1=(Dn-1-Dn-2)=2(Dn-2-Dn-3)= n-2(D2-D1)=n-2(2+2)-(+) =n，即 D n-Dn-1=n， (1)类似地，有 D n-Dn-1=n， (2)(1)-(2) 可得(-)D n=n+1-n+1，所
15、以 Dn=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ()(反证法) 假设A *0，则有 A*(A*)-1=E。又 因为AA*=AE，且A=0，故 A=AE=AA *(A*)-1=AE(A *)-1=0， 所以 A*=0。这与A *0 矛盾，故当A=0 时，有A *=0。 ()由于 AA*=AE ，两端同时取行列式得 AA *=A n。 当A0 时，A *=A n-1；当A=0 时，A *=0。 综上，有A *=A n-1 成立。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设有常数 0， 1， k-1，使得 0+1A+ k-1Ak-1=0， 则有 Ak-1(0+1A+ k-1Ak-1)=0， 从而
16、得到 0Ak-1=0。由题设 Ak-10，所以0=0。 类似地可以证明 1=2= k-1=0，因此向量组 ，A，A k-1 是线性无关的。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， n-r+1 线性无关且均为 Ax=b 的解。 取 1=2-1， 2=3-1， n-r=n-r+1-1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设 1， 2， n-r线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l n-r，使得 l11+l22+ln-rn-r=0， 即 l1(2-1)+l2(3-1)+ln-r(n-r-1)=
17、0， 也即 -(l 1+l2+ln-r)1+l12+l23+ln-rn-r+1=0。 由 1， 2， n-r+1 线性无关知 -(l 1+l2+ln-r)=l1=l2=ln-r=0， 这与l1，l 2，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1， 2， n-r 线性无关，是Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x-2 为 Ax=0 的解，因此 x-1 可由 1， 2， n-r 线性表示，设 x- 1=k21+k32+kn-r+1n-r =k2(2-1)+k3(3-1)+kn-r+1(n-r+1-1)， 则 x= 1(1-k2-k3-kn-r+1)+k22+k
18、33+kn-r+1n-r+1， 令k1=1-k2-k3-kn-r+1，则 k1+k2+k3+kn-r+1=1，从而 x=k 11+k22+kn-r+1n-r+1 恒成立。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A =D n=(n+1)an。 ()当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为()当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0) T+k(1，0 ，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为方程组(2
19、)中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组(2) 必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1) 的系数行列式为 0，即对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(1)的通解是 k(-1，-1，1)T。 因为(-1，-1，1) T 是方程组(2)的解。所以当 b=1，c=2 时，方程组(2)为 其通解是 k(-1，-1，1) T，所以方程组(1)与(2)同解。当b=0，c=1 时，方程组(2)为 由于方程组(2)的系数矩阵的秩为 1，而方程组(1)的系数矩阵的秩为 2，故方程组(1) 与(2)不同解，则 b=0，c=1 应舍去。 综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组(1)与(2
20、)同解。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 AA *=AE=-E。对于 A*=0，用 A 左乘等式两端，得由此可得(1)-(3)得 0=1。将 0=1代入(2)和(1)，得 b=-3，a=c。由A=-1 和 a=c，有 =a-3=-1，即得 a=c=2。故 a=2，b=-3 ，c=2， 0=1。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设对应于 2=3=1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 T1=0，即 x2+x3=0，解得 2=(1，0，0)T， 3=(0，1，-1) T。 又由 A(1， 2， 3)=(11， 22， 33)，
21、故有 A=(11， 22， 33)(1， 2， 3)-1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 由题意得 化成矩阵形式为()因为行列式 1， 2=50，所以 1， 2 线性无关。又 A1= =1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1=1。A 2= ，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2= 。 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0。于是， Bx0。因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n。 充分性：因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵。 若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)0。于是当 x0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx) 0，故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
