1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设对方阵 A 施行初等变换得到方阵 B，且|A|0,则（A）必有|B|=|A|（B） |B|A|（C） |B|0（D）|B|=0 或 |B|0 依赖于所作初等变换二、填空题2 3 4 5 6 7 8 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_9 方程 f(x)= =0 的全部根是_10 方程 f(t)= =0 的实根为_11 方程 f(x)= =0 的全部根是_12 设 则秩(AB)=_13 设 BO 满足 BA=O，则 t=_14 设 矩阵 B 满足 A2 一 AB=2B+4
2、E，则 B=_15 设 n(n3)阶方阵 的秩为 n 一 1，则 a=_16 设 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA=2BA 一 8E，则矩阵B=_17 设 n2 为正整数，则 An 一 2An-1=_18 设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且|A|=a，|B|=b ，则行列式 =_19 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_20 设 A、B 均是 n 阶矩阵，且|A|=2，|B|= 一 3，A*为 A 的伴随矩阵，则行列式|2A*B-1|=_21 设 B=(E+A)-1(EA)，则 (E+B)-1=_22 设 为 3 维列向量， T 是 的转量若 T= ，则 T=_
3、23 设三阶方阵 A、B 满足 A2BAB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A=，则行列式|B|=_24 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一T，B=E+ 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_25 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= 则(AE)-1=_26 设 A= ， B=P-1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B2004 一2A2=_27 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1 ，0， 0)T，则线性方程组 Ax=b 的解是_28 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵
4、A=21+2， 1 一 2，= 1， 2，若行列式|A|=6，则|B|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 设有行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，不计算行列式 D，证明 D 能被 13 整除30 求下列行列式的值：31 计算下列 n 阶行列式：32 设 ab，证明：33 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= 是否为正定矩阵?34 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 2x22+bx32 一 4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a0)经正交变换 (x 1， x2，x 3)T=P(y1，y 2，y
5、 3)T 化成了标准形 f=2y12+2y22 一 7y32，求 a、b 的值和正交矩阵 P.35 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+ATA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵36 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n) 为实数试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型考研数学一（线性代数）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C
6、【知识模块】 线性代数二、填空题2 【正确答案】 a 1a2a3a4b1b2b3b4【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 1 一 x2 一 y2 一 z2【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 x 4【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 1 一 a+a2 一 a3+a4 一 a5【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 n!(2 一 n)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 a n+(一 1)n+1bn【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 28【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1，2，3【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 t=6【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 x
7、=0，x=1f(x)=5x(x 一 1)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 秩(AB)=秩(A)=2 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t=一 3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B=(A+2E) -1(A2 一 4E)=(A+2E)-1(A+2E)(A 一 2E)=A 一 2E=*1566【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B=8(2E-A*) -1A-1=8A(2E-A*)-1=8(2AAA*)-1=8(2A|A|E)-1=8(2A+2E)-1=4(A+E)-1=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 A2=2A，
8、故当 n=2 时，A n 一 2An-1=A2 一 2A=O；当 n2 时，An 一 2An-1=An-2(A22A)=An-2O=O，故恒有 An 一 2An-1=O(n2)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (一 1)mnab【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 |2A*B -1|=2n|A*|B-1|=2n|A|n-1|B|-1=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 E+B=E+(E+A) -1(EA)，两端左乘 E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+EA=2E【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 3【知识模块】 线性代数2
9、3 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 一 1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 一 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 将 D 的第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列上去，则所得行列式第 4 列各元素有公因子 13【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)一 9(2) 一 10【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)
10、(一 1)n-1(n 一 1)xn-2.先将第 2 行的 (一 1)倍加至第 i 行(i=3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一 1列都加到第 1 列，则得上三角行列式(2)(x 一 1)(x 一 2)(xn+1)把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2 ， 3，n)，则得上三角行列式 (3)先把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2 ，3，n)，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，3，n) ，则得上三角行列式 (4)n+1【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递
11、推关系式 Dn=(a+b)Dn-1 一 abDn-2，D n 一 aDn-1=b(Dn-1 一 aDn-2)，D n 一 aDn-1=bn-2(D2一 aD1)=bn，对称地有 D【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 取 m+n 维非零列向量 Z= 其中 X、Y 分别为 m、n 维向量，故 X、Y 不全为零，不妨假定 X0由条件有 XTAX0，Y TBY0，故对 Z0，有ZTCZ=XT YT =XTAX+YTBY0，又 CT=C，故 C 正定【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 a=4，b=一 2；P=【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 B T=B，对任意 n 维非零列向量 X，有 XTX0，(AX) T(AX)0，故对 X0 有 XTBX=XT(E+ATA)X=XTX+(AX)T(AX)0，因此，对称阵 B 正定【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 1+(一 1)n+1a1a2an0【知识模块】 线性代数
