1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是 A 的（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关（D）行向量组线性相关2 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，且存在 3 阶方阵BO，使 AB=O，则（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1 且|B|=0（D）=1 且|B|03 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且秩(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3
2、=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=4 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：Ax=0 和()：ATAx=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解5 4 个平面 aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 满足 r(A)= =（A）1（B） 2（C
3、） 3（D）46 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且 则线性方程组（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C）（D）7 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有 3 个线性无关的解向量8 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为二、填空题9 若方程组 有解，则常数 a1，a 2， a
4、3，a 4 应满足的条件是_10 若 3 阶非零方程 B 的每一列都是方程组 的解，则=_，|B|=_ 11 设 其中 a1，a 2，a n是两两不同的一组常数，则线性方程组 ATx=B 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 证明：n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式13 设向量组(I)： 1， 2， 3 的秩为 3；向量组()： 1， 2， 3， 4 的秩为 3；向量组()： 1， 2， 3， 5 的秩为 4证明：向量组()： 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为414 设 为实 n 维非零列向量， T 表示 的转置(1)证明： 为对称的正
5、交矩阵；(2)若 =(1，2，一 2)T，试求出矩阵 A； (3)若 为 n 维列向量，试证明：A= 一(bc)，其中，b、c 为实常数15 设向量组(I)： 1， 2， r 线性无关，且(I)可由()： 1， 2， s 线性表示证明：在() 中至少存在一个向量 j，使得 j， 2， r 线性无关16 设向量组 1， r 线性无关，又 1=a111+a212+ar1r 2=a121+a222+ar2r r=a1r1+a2r2+arrr 记矩阵 A=(aij)rr，证明：1， 2， r 线性无关的充分必要条件是 A 的行列式 |A|017 求下列向量组的一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性
6、表出该向量组中其它向量： 1=(1，2，3，一 4)， 2=(2，3，一 4，1)， 3=(2，一 5，8，一 3)，4=(5 26，一 9，一 12)， 5=(3，一 4，1，2) 18 设有向量组(I)： 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一1，t+2) T， 4=(一 2，一 6，10，t) T (1)t 为何值时， (I)线性无关? 并在此时将向量=(4， 1，6， 10)T 用(I)线性表出； (2)t 为何值时，(I)线性相关? 并在此时求(I) 的秩及一个极大无关组19 已知 R3 的两个基分别为求由基(I)到基()的过渡矩阵 C.
7、20 设 1，, n-1， 1， 2 均为 n 维实向量， 1， n-1 线性无关，且 j(j=1，2)与 1 n-1 均正交证明： 1 与 2 线性相关21 设 i=(ai1,ai2，a in)T(i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组 1， r， 的线性相关性22 设有向量组(I)： 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a)T 4=(4，4，4，4+a) T问 a 取何值时，(I)线性相关?当(I)线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量
8、用该极大无关组线性表出23 对于方程组 问 k1 与 k2 各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解 ?在有无穷多解时，求其一般解24 设方程组 有解(1)确定 a、b 的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解25 设向量 1=(1，一 1，1) T， 2=(1，k，一 1)T， 3=(k，1，2) T，=(4，k 2，一 4)T问 k 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示?并求出此线性表示式26 设有线性方程组 (1)证明：当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，此方程组无解；(2)设 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)时， 1=(一 1，1，1)
9、T， 2=(1，1，一 1)T 是方程组的两个解，写出此方程组的通解27 设 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是 r(A)=r(A|B)28 设 问 a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时，求出全部解29 设 已知方程组 Ax=0 的解空间的维数为 2，求 c 的值，并求出方程组 Ax=0 的通解30 求解线性方程组31 设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1，x 2，x n)T，证明：二次型为正定二次型32 设实对称矩阵 A 满足 A2 一 3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵33 设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c
10、，使对一切 xRn，有|xTAx|cxTx (2) 若 A 正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3) 必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【知识模
11、块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 =1，|B|=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1，0，0) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令矩阵 A=1 2 n，则 1， 2， n，线性无关,|A|0 ，而D=|ATA|=|AT|A|=|A|2，故|A|0,D0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由条件知(I)线性无关，而( )线性相关，故 4 可由 1， 2， 3 线性表示，设为： 4=11+22+33设有一组数 x1，x 2，x 3，x 4，使
12、得 x1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 记常数 则 b0，A=Eb T(1)A T=(EbT)T=EbT=A，所以 A 为对称矩阵AA T=AA=(EbT)(EbT)=E 一 2bT+b2(T)T，而 T= 代入上式得 A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 可用反证法：否则，对于 j=1，2，s，向量组 j， 2， r线性相关，又 2， r 线性无关，故 j 可由 2， r 线性表示，()可由2， ， r 线性表示，又已知 1 可由()线性表示， 1 可由 2，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 不妨设 j 及 j 均为 n 维列向量(j=1，2，r)，则题设线性表示式可
13、写成矩阵形式 1 2 r=1 2 rA 或 B=PA，(*) 其中 B=1 2 r及P=1 2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1， 2， 5 是一个极大无关组，且 3=1 一 2+5， 4=31+4225或 1， 2， 3 是一个极大无关组，且 4=51+22【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 对下列矩阵作初等行变换：(1)由阶梯形矩阵可见，当 t2 时， 1， 2， 3， 4 线性无关，此时，再对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为(2)当 t=2 时，1， 2， 3， 4 线性相关，其极大无关组可取为 1， 2， 3(或 1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 1
14、2 3=1 2 3cC=1 2 3-11 2 3=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 n+1 个 n 维向量 1， n-1， 1， 2 线性相关，故有不全为 0 的一组数 k1，k n-1，k n，k n+1，使 k11+kn-1n-1+kn1+kn+12【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 线性无关，证明如下：由题设条件有 Ti=0(i=1，2，r)设k11+krr+kr+1=0，两端左乘 T，并利用 Ti=0 及 T0，得kr+1=0，k 11+kr【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， 3， 4，由|A|=0 或由初等行变换，可得：当a=0 或 a=一
15、 10 时，(I)线性相关当 a=0 时， 1 为(I)的一个极大无关组，且2=21， 3=31， 4=41；当 a=一 10 时，对 A 施行初等行变换：，可知 2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见：(1)当 k12 时，r(A)= =4，故此时方程组有唯一解(2)当 k1=2时，对 B 作初等行变换： 可见当 k1=2 且 k21时，r(A)=3，而 =4，方程组无解(3)当 k1=2 且 k2=1 时，对矩阵 C 作初等行变换： 由此得方程组的一般解为 x1=一 8，x【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施
16、行初等行变换：由此可见，方程组有解,b3a=0，22a=0 ，即 a=1， b=3当 a=1，b=3 时，对矩阵B 作初等行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 对应齐次方程组 Ax=0 的通解为 由此得 Ax=0的基础解系为 1=(1，一 2，1，0，0) T， 2=(1，一 2，0，1，0) T， 3=(5，一6，0，0，1) T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设有数 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=对此方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见(1)当(4 一 k)(k+1)0，即 k4 且 k一 1 时，r(A)= =3，方程组有唯一解此时，
17、对矩阵 B 作初等行变换，可得方程组的唯一解为：(2)当 k=一 1 时，r(A)=2 ，而【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，增广矩阵的行列式 (为一范德蒙行列式) 故有 ，但系数矩阵的秩不大于 3，故方程组无解(2)此时有 r(A)= =2，故方程组有无穷多解，对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础联系含 3 一 r(A)=32=1 个解向量，由于 A(1 一 2)=A1 一A2=0，所以， 1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设矩阵 A、X、B 按列分块分别为：A= 1 n，X=x 1 xp，B=b1 bp，则 Ax=B,A
18、x1 Axp=b1 bp,Axj=bj(j=1，p),向量 bj 可由 A 的列【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=rA|B,a=1，b=2 ，c=1，于是由上题知 Ax=B 有解,a=1，b=2，c=1此时，对矩阵 D 作初等行变换： 于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1 b2 b3，则得方程组 Ax=b1 的通解为：x 1=(1 一 l，一 l，l) T；方程组 Ax=b2 的通解为：x 1=(2 一 m，【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由条件有 4 一 r(A)=2，r(A)=2，于是由知 c=1当 c=1 时，对矩阵 B 作初等
19、行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 用基础解系表示的通解为 x=c1(1，一 1，1，0) T+c2(0，一 1，0，1) T，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换：可见方程组恒有解(1)当 a1 时，对矩阵 B 作初等行变换：得通解为：x 1=一 x4，x 2=b+3x4，x 3=一 3x4(x4 任意)，或 x=(0，b， 0，0) T+c(一 1，3，一 3，1) T，其中 c 为任意常数 (2)当 a=1 时，由 得通解为：x 1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由于 两端取行列式，得 由于 A 正定，故|
20、A|0，且 A-1 正定，故对于任意 X0，XR n，有 XTA-1X0故f(x1，x 2， xn)=【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，则存在 X0，使 AX=X，于是(A 2 一3A+2E)X=(2 一 3+2)X=0， 2 一 3+2=0,=1 或 =2，因此 A 的特征值均大于 0，故 A 正定【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1， 2， n令c=max|1|，| 2|，| n|)，则存在正交变换 x=Py，使 xTAx= ，且yTy=xTx，故|x TAx|= =cyTy=cxTx(2)设 A 的特征值为 1【知识模块】 线性代数
