1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22 一 4x32 一 4x1x2 一 2x2x3 的标准形为（A）2y 12-y22 一 3y32（B）一 2y12 一 y22 一 3y32（C）一 2y12+y22（D）2y 12+y22+3y322 设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为二、填空题3 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换化成了标准形 f=y22+2y32，其中 P 为正交矩阵，则=_,=
2、_.4 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+4x2x3 为正定二次型，则 的取值范围是_5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的秩为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 下列矩阵是否相似于对角阵?为什么?7 已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A= 的逆矩阵 A-1 的特征向量，试求常数k 的值及 对应的特征值8 设矩阵 相似(1)求 x 和 y 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B9 设 3 阶矩阵 A 满足 Ai=ii(i=1，2，3)，其中
3、1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1)T， 3=(一 2，-1 ，2) T，求矩阵 A10 设 1， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，X 1、X 2 分别为属于 1、 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是 A 的特征向量11 设 有 3 个线性无关的特征向量，求 x、y 应满足的条件12 设 的一个特征值为 3(1)求 y 的值；(2)求可逆方阵 P，使(AP)T(AP)为对角阵13 设 (1)求 a、b 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B14 设 问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=D 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵 D.15
4、设 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2 重特征值，试求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角形矩阵.16 设 已知线性方程组 AX= 有解不唯一试求：(1)a的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵17 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0记 n 阶矩阵 A=T，求：(1)A 2；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量18 设 B=(kE+A)2，(k 为实数)求对角矩阵 D，使 B 与 D 相似；并问 k 取何值时 B 为正定矩阵?19 已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 6，3，3， 1=(
5、1，1，1) T 是属于特征值 1=6的特征向量，求矩阵 A20 已知矩阵 A=(aij)nn(n2)的秩为 n-1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量21 设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵22 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P使 P-1AP=A23 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值24 设 =(a1，a 2，a n)T 为 Rn 中的非零向量，方阵 A=
6、T (1)证明：对于正整数m，存在常数 t，使 Am=tm-1A，并求出 t； (2) 求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角阵A25 设 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵26 设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A27 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=2
7、2+3；A 3=22+33 (1) 求矩阵 B，使 A1， 2， 3=1， 2， 3B； (2)求 A 的特征值； (3) 求一个可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵28 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+3。 (I)证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P=1， 2， 3，求 P-1AP29 设二次型 f(x1,x2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出 f 的矩阵 A，求出 A的特征值，并指出曲面 f(x1，x 2，x 3)=1 的名称30 设矩阵 相似于对角矩阵(1)
8、求 a 的值；(2)求一个正交变换，将二次型 f(x1， x2，x 3)=xTAx 化为标准形，其中 x=(x1，x 2，x 3)T.31 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22 一 2x32+2bx1x3(b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵32 已知矩阵 相似于对角矩阵 A(1)求 a 的值；(2)利用正交变换将二次型 XTBX 化为标准形，并写出所用的正交变换；(3)指出曲面 XTBX=1 表示何种曲面33 已知齐
9、次线性方程组= 有非零解，且矩阵是正定矩阵(1)求 a 的值；(2)求当 XTX=2 时，X TAX 的最大值，其中 X=(x1，x 2，x 3)TR334 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵 (1)计算 PTDP，其中 (Ek 为 k 阶单位矩阵) ；(2)利用(1)的结果判断矩阵 B 一 CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论考研数学一（线性代数）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f 既不正定(因 f(0，0，1)=-40)，也不负定(因 f(1，0，0
10、)=2 0)，故(D)、(B)都不对，又 f 的秩为 3，故(C)不对，只有 (A)正确或用配方法【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 =0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 一 21【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (1)是因该 3 阶方程有 3 个两两不同的特征值 1，2，3；(2)否因该 4 阶方阵 A 的线性无关特征向量只有 2 个：特征值为 1=2=3=4=1，而E-A 的秩为 2，故(E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量
11、，即 A 的线性无关特征向量只有 2 个【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由条件有 A-1=，两端左乘 A，得 A=，即对照上式两端的对应分量得方程组由此解得 k=一 2，=1；或 k=1，=【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1)由条件知 A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=y，故有 0=|EA|=(一 1)3|E+A|=一|E+A|= ,x-0又由特征值的性质，有一1+2+y=一 2+x+1，解得 y=一 2所以，x=0 ，y=一 2(2)对于 1=一 1，由一 EAE+A= 得对应于 1=一 1 的线性无关特征向量可取为 1=(0，2，一 1)T【知识模块】 线性代数
12、9 【正确答案】 由条件知 1， 2， 3 分别是 A 的对应于特征值 1，2，3 的特征向量，因此 A 可相似对角化，令矩阵 P=1 2 3= 则有 P-1AP=diag(1，2，3)，A=Pdiag(1，2，3)P -1=【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 可用反证法：若 X1+X2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则有A(X1+X2)=0(X1+X2)得 AX1+AX2=0(X1+X2)， 1X1+2X【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 1，A 有 3 个线性无关特征向量,A的属于 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个,矩阵 E
13、A= 的秩为1,x+y=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)求|3E 一 A|=8(2 一 y)=0，y=2,(2)A T=A，可知(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，由配方法：X TA2X=(x1，x 2，x 3，x 4)A2(x1，x 2，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，2；6 的线性无关特征向量分别可取为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1)T， 3=(1，一 2，3) T，于是可取 P=1 2 3=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由|E 一 A|=(+1)2(一 1)=0，得
14、A 的全部特征值为 1=2=一 1， 3=1故 A 可对角化,A 的属于 2 重特征值 1=2=一 1 的线性无关特征向量有 2 个,方程组(一 E 一 A)x=0 的基础解系含 2个向量,3 一 r(一 EA)=2,r(一 EA)= =1,k=0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由条件知方程组(2EA)x=0 的基础解系含 2 个向量，故 2E 一 A的秩为 1，得 x=2，y= 一 2，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由条件知 r(A)=rA|3，a=一2，Q= Q TAQ=【知
15、识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由于 T=T=0，故 A2=TT=(T)T=(0)T=O(2)因A2=O，故 A 的特征值全为零因 0，O，不妨设 a10，b 10，则由则 A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量为因A 的特征向量只属于特征值 0，故 A 的【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 易求得实对称矩阵 A 的特征值为 2，2，0，故存在可逆矩阵 P，使 P-1AP= ，故 P-1BP=P-1(kE+A)2P=P-1(kE+A)P2=(kE+P-1AP)2=D，即 B 与对角矩阵 D 相似；且由 D 知 B 的特征值为(2+k) 2，(2+k) 2，k 2，因为实对称
16、【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 A 的属于特征值 2=3=3 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则由实对称矩阵的性质，有 0=1T=x1+x2+x3，解这个齐次线性方程得其基础解系为2=(一 1，1， 0)T， 3=(1，1，一【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A*A=|A|E=O，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量：都是方程组 A*X=0 的解向量，即 =0 至少是 A*的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于 A11+A12+Ann(Aij为 aij 的代数余子式 )，故 A*的第
17、n 个特征值为 ，由 r(A*)=1，故 A*的列成比例，不妨没 A110，则有常数 k2，k【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 必成立，故只需证明(1)设 为 A 之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(B)=(B)，若 B0，则B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因(E 一 A)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量总之， 必为 B 之特征向量，
18、由于 的任意性，说明 A 的特征向量都是 B 的特征向量【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=6， 3=一 2，由 A 相似于对角阵知矩阵 6EA 的秩为 1，a=0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 A*的属于特征值 的特征向量为 ，则由 A 可逆知 A*可逆，有 0，A*= ， 比较两端对应分量得方程组 3+b=解之得 b=1 或 b=一 2，a=2，再由|A|=3a一 2=4， 所以，a=2，b=1，=1；或 a=2，b=一 2，=4【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m-1T=(T)m-1(T)= =
19、tm-1A，其中 t= (2)AO，A T=A，1r(A)=r( T)r()=1，r(A)=1，由于实对称【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)1 0 当 b0 时，故 A的特征值为 1=1+(n 一 1)b， 2= n=1b对于 1=1+(n 一 1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 解得 1=(1，1，1)T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k1=k(1，1，1) T，其中【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故
20、1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)=2 知|A|=0，所以 A的另一特征值为 3=0 设 3=0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)由题设条件，有 A1， 2， 3=A1，A 2，A 3=1+2+3， 22+3，2 2+33 (2)记矩阵 C=1， 2， 3【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (I)设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0 用 A 左乘式两端，并利用 A1=一 1，A 2=2， 一 k11+(k2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 1=2=一 1， 3=5；双叶双曲面【知识模块】 线性代
21、数30 【正确答案】 (1)A 的特征值为 6，6，一 2，故由 A 可相似对角化知矩阵 6EA= 的秩为 1，a=0(2)f=x TAx=(xTAx)T=xTATx=，故 f 的矩阵为 (A+AT)= ，计算可得 B 的特征值为 1=6， 2=一 3， 3=7，对应的特征向量分别可取为1=(0，0，1)【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)f 的矩阵为 A= ，由 1+2+3=a+2+(一 2)=1，及123=|A|=2(一 2a 一 b2)=一 12，解得 a=1，b=2【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1)由 B 相似于对角阵，知对应于 B 的二重特征值 6 的线性无
22、关特征向量有 2 个，r(6EB)=1，a=0 ：(2) 二次型 f=XTBX 的矩阵为可使PTAP=diag(6，7，一 3)，故 f 在正交变换 X=PY 下化成的标准形为 f=6y12+7y22 一3y32；(3)单叶双曲面【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式 =a(a+1)(a 一 3)=0，a 的取值范围为：0，一 1，3，再由矩阵 A 正定，得 a=3；(2)可求得 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A=10，且 T=1)对二次型 XTAX，存在正交变换X=PY，使 XTAX =1y12+2y22+3【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)P TDP= ；(2)矩阵 BCTA-1C 是正定矩阵证明：由(1)的结果知 D 合同于矩阵 M= 又 D 为正定矩阵，所以 M为正定矩阵因 M 为对称矩阵，故 BCTA-1C 为对称矩阵由 M 正定，知对 m维零向量 x=(0，0，0) T 及任意的 n 维非零向量 y=(y1，y 2，y n)T，有【知识模块】 线性代数
