1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有向量组 1=(1，-1 ，c 1，0) T， 2=(1，0，c 2，3) T， 3=(0，0，c 3，5)T， 4=(1，0，0，8) T，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 3， 4 必线性相关（B） 1， 2， 3， 4 必线性无关（C） 2， 3， 4 必线性相关（D） 1， 2， 3 必线性无关2 若方阵 A，B，C 满足 AB=CB，则必有( )（A）A=C（B）若 A，B ，C 都可逆，则（C） B=0（D）B=0 3 设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是
2、n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中可用正交变换化为对角矩阵的是( )（A）BAB（B） ABA（C） (AB)2（D）AB 24 设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 中的一组基，则由基 2， 1-2， 1+3 到基1+2， 3， 2-1 的过渡矩阵为( )5 设有向量组 1=(1，-1 ，1，0) T， 2=(1，2，-1，0) T， 3=(0，1，1，1)T， 4=(2，2，1，1) T，则以下命题正确的是( )（A） 1 线性相关（B） 1， 2 线性相关（C） 1， 2， 3 线性相关（D） 1， 2， 3， 4 线性相关6 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是互不相同的
3、3 维列向量，且都不是方程组 AX=0的解，记 B=(1， 2， 3)，且满足 R(AB)R(A)， R(AB)R(B)则 R(AB)等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设矩阵 A=(1， 2， n)经过若干次初等行变换后变成了矩阵B=(1， 2， n)，则在 A，B 中( )（A）对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性（B）对应的任何部分列向量组不一定具有相同的线性相关性（C）对应的 k 阶子式或同时为零或同时不为零（D）对应的齐次线性方程组 AX=0，BX=0 是同解方程组8 设矩阵 Amn 经过若干次初等行变换后得到 B，以下 4 个结论中正确的是( ) A的行向量组均
4、可由 B 的行向量组线性表示； A 的列向量组均可由 B 的列向量组线性表示； B 的行向量组均可由 A 的行向量组线性表示； B 的列向量组均可由 A 的列向量组线性表示（A）、（B） 、（C） 、（D）、9 设有任意两个 n 维向量组 1， m 和 1， m，若存在两组不全为零的1， m 和 k1，k 2， ，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1-k1)1+( m-km)m=0，则( )（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m， 1-1， m-m 线性无关（D） 1+1， ， m+m， 1-1， m-m 线性
5、相关10 要使 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，-1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵为( )11 设 A 为 mn 矩阵，则与线性方程组 AX=b 同解的方程组是 ( )（A）当 m=n 时，A TX=b（B） QAX=Qb，Q 为初等矩阵（C） R(A)=R(A，b)=r 时，由 AX=b 的前 r 个方程所构成的方程组（D）R(A)=R(A，b)=r 时，由 AX=b 的任 r 个方程所构成的方程组12 设 n 元齐次线性方程组的一个基础解系为 1， 2， 3， 4，则下列向量组中仍为该齐次线性方程组的基础解系的是( )（A） 1-2， 2-3， 3-4，
6、4-1（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（C） 1， 1+2， 1+2+3， 1+2+3+4（D） 1+2， 2+3， 3-4， 4-113 设 A 为 mn 矩阵，对于齐次线性方程组()AX=0 和()A TAX=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解14 已知矩阵 A= 相似，则 ( )（A）x=0，y=-3（B） x=0，y=3（C） x=-3， y=0（D）x=3，y=0 15 A 是 3
7、阶方阵，有特征值 1，-2，4，则下列矩阵中满秩的是( )(其中 E 为 3 阶单位矩阵)（A）E-A（B） A+2E（C） 2E-A（D）A-4E16 设 A 是 3 阶对称矩阵， i(i=1，2，3)是 A 的线性无关的特征向量，且满足Ai=i2i(i=1，2，3)，则 A 合同于( )17 n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是( )（A）A0（B） A 的所有特征值非负（C） A-1 为正定矩阵（D）R(A)=n18 设 A 是 n 阶实对称阵，秩为 r，A 对应的二次型厂的符号差为 s，则必有( )（A）r 是奇数，s 是偶数（B） r 是偶数，s 是奇数（C） r，s 均为偶数，不
8、能是奇数（D）r，s 或均是偶数，或均是奇数二、填空题19 计算 n 阶行列式：D n= =_20 设矩阵 A= ，A *为 A 的伴随矩阵，则 A*(1，1，1) T+A*(1，2，1)T+A*(1，1，3) T=_21 设 A= ，B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=_22 设 1=(1， 1，1) ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t)，当_时， 1， 2， 3 线性无关23 已知方程组 无解，则 a=_24 已知四元非齐次方程组 AX=b，R(A)=3， 1， 2， 3 是它的三个解向量，且1+2=(1，1，0，2) T， 2+3=(1，0，1，3) T，则 AX=b
9、 的通解是_25 设方程组 每一个方程都表示一个平面，若系数矩阵的秩为 3，则三平面的关系是_26 已知A= 有一特征值=_27 设 A，B，C 均是三阶矩阵，满足 AB=-B，CA T=2C其中 B=，则矩阵 A 的特征值_，对应的特征向量_考研数学一（线性代数）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 C 正确，即 2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 3， 4 线性相关，即 A 正确，排除 C 若 B 正确，即 1， 2， 3， 4 线性无关，则 1， 2， 3 线性无关，即 D 正确，排除 B 若
10、A 正确，则 C、D 可能正确，排除 A故应选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B，C 都可逆，则A0，B0，C0，由 AB=CB得AB= CB，即 AB =CB，故 A= C，即【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为可以用正交变换化为对角形的矩阵必为对称阵，依题意有AT=A，B T=-B，故只有选项 A 中(BAB) T=BTATBT=(-B)A(-B)=BAB，即只有矩阵BAB 为对称矩阵【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 设( 2+2， 3， 2-1)=(2， 1-2， 1+3)C，则( 1， 2， 3)=(1，
11、 2， 3) 由于 1， 2， 3 是 R3 中的一组基，故(1， 2， 3)可逆，则【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因 10，故排除 A，又 1， 2 对应分量不成比例，故排除 B，选项C、D 都可能对，但此题是单选，若 C 成立，则 D 也成立，故排除 C 而事实上，因为 1， 2， 3， 4所以1， 2， 3， 4 线性相关，所以选择 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 i 不是 AX=0 的解，即 AB0，R(AB)1 又 R(AB)R(A) ，则矩阵 B 不可逆因为假设矩阵 B 可逆，则 R(AB)=R(A)，这和 R(AB)R(A)矛盾
12、所以 R(B)2，从而 R(AB)R(B)2，即 R(AB)1，从而有 R(AB)=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 经过若干次初等行变换变成 B，所以存在可逆矩阵 P，使得B=PA 若 AX=0，则 PAX=0，即BX=0 ；反之，若 BX=0，则 PAX=0，式子两边同时左乘 P-1，得 AX=0所以由 A，B 组成的方程组 AX=0 与 BX=0 同解故选 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，A 经初等行变换得到 B，知有初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 Ps.P2P1A=B记 P=Ps.P2P1，则 P=(pij)mm
13、是可逆矩阵，将 A，B 均按行向量分块，有 这表明pi11+pi22+pimm=i(i=1，2，m)，故 B 的行向量组均可由 A 的行向量组线性表示；因 P=(pij)mm 是可逆矩阵，所以两边同乘 P-1，得 ，故A 的行向量组均可由 B 的行向量组线性表示所以选 D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解若向量组1， 2， ， s 线性无关，即若 x11+x22+xss=0，必有x1=0， x2=0， ，x s=0 1， m 与 k1，k m 不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除 B、C 一般情况下，对于 k11+k2
14、2+kss+l11+lss=0， 不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+lss=0，故 A 不正确由已知条件，有 1(1+1)+ m(m+m)+ k1(1-1)+km(m-m)=0， 又 1， m 与 k1，k m 不全为零，故1+1， ， m+m， 1-1， m-m 线性相关故选 D【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2 对应的分量不成比例，所以 1， 2 是 AX=0 的两个线性无关的解，故 n-R(A)2由 n=3 知 R(A)1 再看 A 选项，矩阵的秩为 1；B 和 C 选项，矩阵的秩为 2；D 选项，矩阵的秩为 3故本题选 A【知识模块】
15、线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 因 Q 为初等矩阵，故左乘 Q 等于对矩阵进行初等行变换，所得方程组与原方程组同解若两个非齐次方程组同解，则两个方程组的系数矩阵秩相同，但反之不成立，所以排除 A、C、D【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 显然题设中的 n 元齐次线性方程组的基础解系含 4 个线性无关的解向量，只需验证各选项中的 4 个向量是否线性无关，且是否是已知方程组的解 设 k 11+k2(1+2)+k3(1+2+3)+k4(1+2+3+4)=0，即 (k 1+k2+k3+k4)1+(k2+k3+k4)2+(k3+k4)3+k44=0 由 1， 2， 3，
16、 4 线性无关知k1=k2=k3=k4=0，所以 C 中 4 个向量线性无关故 C仍为已知齐次线性方程组的基础解系【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 设 是 AX=0 的解，即 A=0，则 ATA=0，即()的解是()的解 设 是 ATAX=0 的解，则 ATA=0两边左乘 T，得到 TATA=T0=0，整理可得(A) TA=0，从而得到 A=0，即()的解是 ()的解【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 A【试题解析】 因矩阵 A 和矩阵 b 相似，故A=B，即故-2=2(3y+8)，解得 y=-3，因矩阵 A 和矩阵 B 相似，故 tr(A)=tr(B)，即 2+
17、0+x=2+3+(-3)，解得 x=0所以选择 A.【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 C【试题解析】 (排除法) 要使方阵满秩，则其行列式必须不等于 0，因 A 的特征值为 1，-2 ，4，故E-A=0，-2E-A=(-1) 3A+2E=0，4E-A=- A-4E=0，则 E-A，A+2E，A-4E 都是不满秩矩阵，故可排除 A、B、D【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A【试题解析】 本题：考查特征值、特征向量的定义，在表达式 Ai=i2i 中，i 2 是矩阵 A 的特征值， i 是 A 的属于 i2 的特征向量，所以当 i=1 有 A1=121，所以 1 是特征值，以此类推，
18、i=2，有 A2=222，i=3，有 A3=323，所以 4，9 也分别是 A的特征值，故选择 A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 C【试题解析】 A、B、D 是必要但非充分条件，只有 C 为正确选项事实上，设A 的特征值为 1， 2， n，则 A-1 的特征值为 ，因为 A-1 正定，0，从而 i0(i=1 ， 2，n)，即 A 是正定矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 D【试题解析】 设 p，q 分别为 f 的正负惯性指数，r=p+q，s=p-q，故 r+s=2p，从而 r，s 或均是偶数，或均是奇数故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】
19、 将第 j 列元素的 (j=2，3，n)倍加到第 1 列，得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (2，2，2) T【试题解析】 因为 A*A=AE，A=2，将矩阵 A 进行列分块A=(1， 2， 3)，则 A*(1，1，1) T+A*(1，2，1) T+A*(1，1，3) T=A*1+A*2+A*3=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 -3【试题解析】 因 B 为 3 阶非零矩阵，又 AB=0，故 B 的列向量为方程组 AX=0 的解且为非零解，故A=0，解得 t=-3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 t5【试题解析】 因 1， 2， 3 线性无关，故【知识模块】 线性代数
20、23 【正确答案】 -1【试题解析】 当a=-1 时， =3R(A)=2，此时方程组无解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 X=k(0，1，-1，-1) T+ (1，1，0，2) T【试题解析】 因 A1=b，A 2=b，故 是方程组 AX=b的特解，又 R(A)=3，n=4，故齐次方程组 AX=0 的基础解系只含一个解向量，由1， 3 是 AX=b 的解知 1-3 为齐次方程组 AX=0 的解，而 1-3=(1+2)-(2+3)=(0，0，-1，-1) T，故 AX=b 的通解为 X=k(0，1，-1，-1) T+ (1，1，0，2) T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 相交于
21、一点【试题解析】 因 R(A)=3，根据方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，此时方程组有唯一解，所以三平面交于一点【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 A 和 B 除主对角线元素外，其余都差一符号，故 A，B 有关系：其中 =2，即 A=2E-B，又A=，即2E-B =0 ，故 =2是 B 的特征值【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 特征值： 1=2=-1， 3=2；对应的特征向量： 1=【试题解析】 由题设 AB=-B，将 B 以列分块，设 B=(1， 2， 3) 则有AB=A(1， 2， 3)=-(1， 2， 3)，即 Ai=i，i=1，2，3 故 i(i=1，2，3) 是 A 的对应于 =-1的特征向量又因为 1， 2 线性无关， 3=1+2，故 1， 2 是 A 的对应于 =-1的线性无关的特征向量 由已知 CAT=2C，两边转置得 AC T=2CT，将CT 以列分块，设 CT=(1， 2， 3)，则有 A(1， 2， 3)=2(1， 2， 3)，即Ai=2i，i=1 ，2，3 故 i(i=1，2，3)是 A 的对应于 3=2 的特征向量【知识模块】 线性代数
