1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n(n2)阶行列式 D= ，则( )（A）D=0（B） D0（C） D0（D）D02 设 A 是 n 阶可逆方阵，则(-A) *等于( )（A）-A *（B） A*（C） (-1)nA*（D）(-1)n n-1A*3 设 A*是 4 阶方阵 A 的伴随矩阵，且 R(A)=2，则 R(A*)*=( )（A）2（B） 1（C） 0（D）44 设 A=，其中 A 可逆，则 B-1 等于( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P15
2、设矩阵 Amn 的秩为 R(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)的形式6 设 B 为 n 阶可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且 A2+AB+B2=0，则( )（A）A 与 A+B 均可逆（B） A 可逆，A+B 不可逆（C） A 与 A+B 均不可逆（D）A 不可逆，A+B 可逆7 设有两个 n 维向量组： () 1=(11， 12， 1n)， 2=(21， 22， 2n)， s=(s1，
3、 s2， sn)； () 1=(11， 12， ， 1n+1)， 2=(21， 22， 2n+1)， s=(s1， s2， sn+1)，则必有( )（A）() 相关 ()相关（B） ()无关 ()无关（C） ()无关 ()无关（D）() 无关 ()相关8 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4) T， 2=(0，5，1，2) T， 3=(3，0，7，4) T， 4=(1，-2，2，0) T， s=(2，1，5，10) T，则该向量组的极大无关组为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 3， 49 设向量组() 1， 2， ， s，其秩为 r1，
4、向量组() 1， 2， t，其秩为 r2，且 i=(i=1，2，s)均可以由 1， 2， s 线性表示，则( )（A）向量组 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1-1， 2-2， s-s 的秩为 r1-r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， t 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， t 的秩为 r110 n 元线性方程组 AX=b 有唯一解的充要条件为( )（A）A 为方阵且A0（B）导出组 AX=0 仅有零解（C） R(A)=n（D）系数矩阵 A 的列向量组线性无关，常向量 b 与 A 的列向量组线性相关11 设 A 为 mn 矩
5、阵，则 mn 是齐次线性方程组 ATAX=0 有非零解的( )（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）以上都不对12 设 A，B 为 n 阶矩阵，ABX=0 有非零解，则( )（A）AX=0 必有非零解（B） BX=0 必有非零解（C） AX=0 与 BX=0 至少有一个存在非零解（D）AX=0 与 BX=0 均不存在非零解13 已知矩阵 A 与矩阵 B 相似，则下列说法正确的是 ( )（A）存在可逆矩阵 P，使 PTAP=B（B）存在对角矩阵 A，使 AAB（C）存在若干初等矩阵 P1，P 2，P s，使 P1P2PsAPs-1Ps-1-1.P1-1=B（D）存在正交矩阵 T，使 T
6、-1AT=B14 设 3 阶矩阵 A 有特征值 1=-1， 2=3=1，且 A 不能相似于对角矩阵，则 R(E+A)+R(E-A)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）415 设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )（A）Q=AB-BA （B） P=ATB(B-BT)A（C） R=BAB（D）W=BA-2AB16 已知 A，B 均为 n 阶正定矩阵，则下列矩阵中不是正定矩阵的是 ( )（A）3A（B） -2B（C） A-1+B-1（D）A *+B*17 对二次型 f=XTAX(其中 A 为 n 阶实对称矩阵)，下列结论中正确
7、的是( )（A）化 f 为标准形的非退化线性变换是唯一的（B）化 f 为规范形的非退化线性变换是唯一的（C） f 的标准形是唯一确定的（D）f 的规范形是唯一确定的18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x3)2 的规范形是( )（A）y 22-y32（B） y12+y22-5y32（C） y12+y22-y32（D）y 12+y22二、填空题19 已知 n 阶行列式A= ，则A 的第 k 行代数余子式的和 Ak1+Ak2+Akn=_20 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_21 设向量组 1
8、， 2， 3 线性无关，若 l2-1，m 3-2， 1-3 线性无关，则 l，m 的关系是_22 已知 1=(2，3，3) T， 2=(1，0，3) T， 3=(3，5，a+2) T，若 1=(4，-3 ，15) T 可由1， 2， 3 线性表示， 2=(-2，-5，a) T 不能由 1， 2， 3 线性表示，则 a=_23 当常数 a=_时，方程组 有非零解24 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_25 设 A，B 为 3 阶相似非零矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1 ，2，3)，A ij 为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足E+2
9、B= E+3B=0 ，行列式AB-A *+B-E=_26 设矩阵 A= 有一特征值 0，则 a=_，A 的另一特征值为_27 设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在 X0=(1，1，1) T 的值 f(1，1，1)=X TAX x 0=(1,1,1)T=_考研数学一（线性代数）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 n=2 时，D= =-10，所以排除 A、D n 2 时，对此行列式利用行列式的性质进行计算，把第 n-1 行的-1 倍加到第
10、n 行，第 1 行的-1 倍加到第 2 行得 故选择 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AA*=A*AAE，所以 A*=A-1A，所以(-A) *=-A(-A) -1=-(-1)nA A=(-1)n-1A A -1=(-1)n-1A*【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 R(A)=2，故A的任一 3 阶子式都等于 0，即所有 Aij=0，则A*=0，所以选项 C 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因交换 A 的第 2、3 两列并交换 A 的第 1、4 两列后可得 B，由初等方阵的作用知 B=AP2P1，故 B-1=P
11、1-1P2-1A-1=P1P2A-1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 R(A)=m 表示 A 中有 m 个列向量线性无关，有 m 阶子式不等于零，并不是任意的，因此 A、B 均不正确经初等变换可把 A 化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能化为标准形例如 ，只用初等行变换就不能化成(E 2，0)的形式，故 D 不正确 关于 C，由 BA=0 知R(B)+R(A)m，又 R(A)=m，从而 R(B)0，又有 R(B)0，于是 R(B)=0，即B=0故应选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2+AB+B2=0 知 A(
12、A+B)=-B2又因 B 为可逆矩阵，所以AA+B =A(A+B) = -B 2=(-1) nB 20，故A0且A+B0，所以 A 与 A+B 都可逆【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组性质中低维向量组和高维向量组之间的线性关系，通过两个向量组比较不难发现向量组()与向量组()从维数上()是低维数向量组，()是高维数向量组，根据性质如果低维向量组线性无关，则高维向量组也线性无关，即选择 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 令 A=(1， 2， 3， 4， 5)，因为 R(A)=R(1， 2， 3， 4， 5)，而(1， 2， 3， 4，
13、5)=由极大无关组的定义知，极大无关组中向量的个数为 4 个，且 1， 2， 3， 4 或1， 2， 3， 5 均为一个极大无关组，所以选择 D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， r1，为 1， 2， s 的极大线性无关组，因为i(i=1， 2，s)均可以由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r1 也是1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，所以 D 成立【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 A 选项，A 为方阵且A0，则 AX=b 有唯一解，反过来，AX=b有唯一解，A 不一定是方阵，必要性不成立；导出组 AX=
14、0 只有零解，则 R(A)=n，但是由此不一定有 R(A)= =n 成立，即方程组 AX=b 不一定有解，故排除B、C；对于 D，将 A 按列分块，A=( 1， 2， n)，则 AX=b 有唯一解 b 可由 1， 2， n 唯一线性表示 b 可由 1， 2， n 线性表示且1， 2， n 线性无关，故 D 正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，由于 R(ATA)=R(A)minm，n=m n ，而 ATA 为nn 矩阵，所以方程组 ATAX=0 有非零解；反过来，若方程组 ATAX=0 有非零解，则 R(ATA) n，故 R(A)=R(ATA)n，此时，不
15、能得到 mn所以 mn 是齐次线性方程组 ATAX=0 有非零解的充分条件，但不是必要条件，选择 B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 设 A，B 为 n 阶矩阵，因为方程 ABX=0 有非零解，即 R(AB)n ，从而有AB= A B=0，所以A=0 或 B=0，若A=0 ，则方程组AX=0 有非零解，若B =0，则 BX=0 有非零解，所以应该选择 C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与矩阵 B 相似，则存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=B 因 P 不一定是正交矩阵，即 PTP-1，故排除 A； 因 A，B 不一定能对角化，故排除
16、B； 对于 C，因可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘 积，令 P-1=P1P2.Pa，故P=Ps-1Ps-1-1.P1-1，C 成立； 矩阵 P 不一定是正交矩阵，故排除 D，选 C【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，3 阶矩阵 A 有特征值 1=-1， 2=3=1，其中 1=-1 是单根所以 1=-1 对应的线性无关的特征向量有且只有一个，即 3-R(-E-A)=1，从而R(E+A)=2 又 2=3=1 是二重根，其对应的线性无关的特征向量的个数小于等于2，但 A 不能相似于对角矩阵，故 2=3=1 对应的线性无关的特征向量有且只有一个，即 3-R(E-A)=
17、1，从而 R(E-A)=2 所以 R(E+A)+R(E-A)=4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 D【试题解析】 因(BA-2AB) T=(BA)T-2(AB)T=ATBT-2BTAT=-AB+2BA，它不是对称矩阵，故它不一定能化成对角矩阵，当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵故选 D 只有实对称矩阵才可以用正交矩阵进行相似对角化 对于选项 A， QT=(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=AB-BA=Q， Q 为实对称矩阵，可用正交变换进行相似对角化，故排除 A 同理，对于选项 B， P=A TB(B-BT)A=2ATB2A， PT=(2ATB2A)T=2A
18、T(B2)TA=2AT(BT)2A=2ATB2A=P， P 为实对称矩阵，故排除 B 选项 C， R T=(BAB)T=BTATBT=-BA(-B)=BAB=R， R 为实对称矩阵，故排除 C【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B【试题解析】 因对任意 X0，X T(-2B)X=-2XTBX0，所以-2B 不是正定矩阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 D【试题解析】 化二次型 f=XTAX 为标准形或规范形可用不同的方法，相应的非退化(可逆 )线性变换也不同，所得标准形也可不同，故 A、B、C 均不正确，但无论用何种方法化二次型 f 为规范形，其中非零平方项的个数，r(即二次型的
19、秩)及正负平方项的个数都是唯一确定的，故 D 正确【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A【试题解析】 二次型的规范形中，平方项的系数只能是 1，-1，0故应当排除B二次型 f 经整理为 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22-4x32+14x1x2+4x1x3-4x2x3，则故矩阵 A 的特征值是 12，-6，0，因此二次型正惯性指数为 1，负惯性指数为 1，故应选 A【知识模块】 线性代数二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 依次求每个代数余子式再求和很麻烦我们知道，代数余子式与伴随矩阵 A*有密切的联系，而 A*与 A-1 又密不可分对于 A 进行技巧性分块，很容易求出
20、 A-1又因 A*=AA -1，那么可见Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，A 可逆在题设关系式两端右乘 A-1，有 A-1B=6E+B，在该式两端左乘 A，得 B=6A+AB，移项得(E-A)B=6A ，则 B=6(E-A)-1A于是由【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 lm1【试题解析】 设 k 1(k2-1)+k2(m3-2)+k3(1-3)=0，即 (-k 1+k3)1+(k1l-k2l)2+(k2m-k3)3=0因 1， 2， 3 线性无关，故 要使 k1，k 2，k 3 全为 0，则此方程组只有零解，故其系数行列式 0，即
21、 lm=1.【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 2【试题解析】 1 可由 1， 2， 3 线性表示，即方程组 x11+x22+x33=1 有解， 2不能由 1， 2， 3 线性表示，即方程组 y11+y22+y33=2 无解由于这两个方程组的系数矩阵是一样的，因此可联合起来加减消元( 1， 2， 3， 1， 2)无论 a 为何值，方程组 x11+x22+x33=1 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩总相等，故方程组总有解，即 1 必可由 1， 2， 3 线性表示 而方程组 y11+y22+y33=2 在 a=2 时由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，故方程组无解，即 2 在 a=2 时不能由1
22、， 2， 3 线性表示，两者取交集得到 a=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 要使齐次线性方程组 有非零解，则必须使=0，由此解得 a= .【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 将方程组的增广矩阵进行行初等变换：因方程组有解，则R(A)= =3，故 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【试题解析】 A *B-A*+B-E=A *(B-E)+(B-E) =(A *+E)(B-E)= A*+E.B-E 由 aij=Aij(i，j=1 ，2，3) 可知，A T=A*，于是 AAT=AA*= AE A
23、A T=A 3 A=A 3 A=0 或A =1 因为 A0，不妨假定 aij0，所以 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故A=1 又由题设可知，A，B 相似，所以 A，B 有相同的特征值，且B = A =1由 E+2B=E+3B=0 可知，B 有特征值 1=，设另外一个特征值为 3，则有 123=所以 A，B 的特征值为 1= ， 3=6于是A *+E=A T+E=A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)= B-E=( 1-1)(2-1)(3-1)= =10故A *B-A*+B-E=A *+E.B-E=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 2【试题解析】 因A= (其中 i 是 A 的特征值)，而 A 有一特征值为 0，故A= =0，解得 a=1，则 A=(-2)2=0解得 A 的另一特征值为 =2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 15【试题解析】 因为 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，故有记 X0= ，将上式两边左乘 X0T，得 f(1，1，1)=X0TAX0=(1，1，1) =15【知识模块】 线性代数
