1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 3 阶矩阵 A= ，其中 ， ， 2， 3 均为 3 维行向量，且已知行列式A=18，B =2 ，则行列式A-B等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）452 设 A 是 n 阶方阵，X= ，若 A 的分块矩阵 A=(A1，A 2，A n)，则下列等式中( )成立（A）(A 1，A 2，A n)X=(A1X，A 2X，A nX)（B） X(A1，A 2，A n)=(XA1，XA 2，XA n)（C） (A1，A 2，A n)（D）3 设 A，B 为 n 阶矩阵，A *，B
2、 *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 C=，则 C 的伴随矩阵 C*=( )4 A= ，P mAQn=B，则( )（A）m=5 ， n=6（B） m=6，n=5（C） m=5，n=5（D）m=6 ， n=65 下列命题中正确的是( )（A）若向量组 1， 2， ， s 线性相关，则存在全不为零的数 k1，k 2，k s，使得（B）若向量组 1， 2， s 线性相关，则 s 可由其余 s-1 个向量线性表出（C）若向量组 1， 2， s 线性相关，则它的任一部分组线性相关（D）若向量组 1， 2， ， s 线性无关，则它的任一部分组线性无关6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向
3、量组中线性无关的是( )（A） 1+22，2 2+33，3 3-1（B） 111-2-33，-6 1+32+43，-17 1+42+73（C） 71-22-3，-2 1+42-23，-3 1-61+53（D） 1+2， 2+3， 3+17 下列说法不正确的是( )（A）s 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则加入 k 个 n 维向量1， 2， k 后的向量组仍然线性无关（B） 5 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则每个向量增加 k 维分量后得到的向量组仍然线性无关（C） s 个 n 维向量 1， 2， s 线性相关，则加入 k 个 n 维向量1， 2， k 后得到的向量组仍然
4、线性相关（D）s 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关8 向量组 1， 2， 3， 4， 5 与向量组 1， 3， 5 的秩相等，则这两个向量组( )（A）一定等价（B）一定不等价（C）不一定等价（D）以上都不对9 设向量 可以由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则( )（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，不可
5、由()线性表示10 非齐次线性方程组 AX=b 中未知数个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则 ( )（A）r=m 时，方程组 AX=b 有解（B） r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解11 设 A 为 mn 矩阵，R(A)=n-2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX=b 的 3 个线性无关的解向量，k 1，k 2 是任意常数，则此方程组的通解是( )（A）k 1(1-2)+k2(2+3)+1（B） k1(1-3)+k2(1+2)+1（C） k1(2-3)+k2(1+3)+2（
6、D）k 1(1-2)+k2(2-3)+212 设 A 为 mn 矩阵，R(A)=mn，则下列结论不正确的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 有无穷多解（C） ，A TX=b 总有唯一解（D） ，AX=b 总有无穷多解13 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个特征值，且满足a123b，A-E 是正定矩阵，则参数 应满足( )（A）b（B） b（C） a（D）a14 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的属于 1， 2 的特征向量，则( )（A） 1=2 时， 1 与 2 必成比例（B） 1=2 时， 1 与 2
7、 必不成比例（C） 12 时， 1 与 2 必成比例（D） 12 时， 1 与 2 必不成比例15 设 A= ，在如下四个条件中 ad-bc0， b，c 同号，b=c ，b，c异号，是 A 相似于对角矩阵的充分条件的是( )（A）、（B） 、（C） 、（D）、16 n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充要条件是 ( )（A）R(A)=R(B)（B） A，B 的正惯性指数相等（C） A，B 为正定矩阵（D）R(A)=R(B)，且 A，B 的正惯性指数相等17 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32+2x1x3，则二次型的标准形是( )(di0，i=1，2，3)（A）
8、d 1y12+d2y22+d3y32（B） d1y12+d2y22-d3y32（C） d1y12-d2y22-d3y32（D）d 1y12-d2y22+d3y32二、填空题18 当 时， n 阶行列式 Dn= =_19 已知四阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=AB+6E，若 A= ，则B=_20 设 A 是 n 阶可逆矩阵，A=a，且 A 的各行元素之和均为 b，则A的第 j列元素的代数余子式之和 A1j+A2j+Anj=_21 设 =(1， 0，-1 ，2)，=(0，1，0，2)，则 R(T)=_22 当向量 =(1，k，5) T 可由向量 =(1，-3，2) T，=(2 ，-1，1) T
9、线性表示时，k=_23 当 =_时，方程组 有解24 设 A 为 n 阶方阵，任何 n 维列向量都是方程组的解向量，则 R(A)=_25 设 A 是 3 阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值分别为 1， ，则A 中对角线元素的代数余子式之和为_26 设 A= ，且 AB，则 =_，=_ 27 当参数 a=_时，矩阵 A= 可相似对角化28 假设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2 正定，则 a 满足的关系式为_考研数学一（线性代数）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
10、确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(A 1，A 2，A n)nnXn1=AnnX= Aixi(A1X，A 2X，A nX)，相乘结果应该为列向量，故选项A 错误，选项 C 正确 又因为 X=Xn1，(A 1，A 2，A n)=Ann，则 X 与 A 不能相乘，所以选项 B、选项 D 错误【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 对四个选项逐个验算，选使 CC*= CE 2n(C 为 2n2n 矩阵，故这里的单位矩阵为 2n 阶方阵 )成立的 C*即可对 D 有【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 是
11、A 经过交换第 1、2 行再交换第 2、3 列后所得到的结果，且 P2=Q2=E，因此 m，n 均为奇数时，有 Pm=P，Q n=Q，从而 PmAQn=PAQ=B，可见 C 是正确的【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由向量组线性无关的性质知 D 正确 对于选项 A，向量组1， 2， s 线性相关，根据定义则存在不全为零的数是 k1，k 2，k s，使得=0，所以选项 A 错误 对于选项 B，若向量组 1， 2， s 线性相关，则至少存在一个向量可由其余向量线性表示，但不一定就是 s，所以选项 B 错误【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 利用观察法，易见
12、： 选项 A 中，有 (22+33)-(1+22)-(33-1)=0； 选项 B 中，有(11 1-2-33)-(-61+32+43)+(-171+42+73)=0故选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C，有(7 1-22-3，-2 1+42-23，-3 1-62+53)=(1， 2， 3) 因为 =0，故选项 C 中的向量组线性相关对于选项 D，有( 1+2， 2+3， 3+1)=(1， 2， 3)=20，故选项 D 中的向量组线性无关，选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 A 不正确，因为如果 s+kn，由 n+1 个行维向量组线性相关则增加向量个数后的向
13、量组相关 选项 A 是根据一个向量组中向量个数和维数的关系确定向量组的线性相关性 选项 B 说的是向量组中高维向量组和低维向量组的线性相关性：即若低维向量组线性无关，则由低维向量组增加维数后的高维向量组也无关 选项 C 将 1， 2， s， 1， 2， s 看成一个向量组， 1， 2， s是其中的部分向量组，说明一个向量组部分向量相关，则整体向量组也相关 选项 D 说明一个向量组整体无关，则这个向量组的部分向量组也无关，所以正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由于向量组 13， 5 是向量组 1， 2， 3， 4， 5 的部分组，所以向量组 1， 3， 5 可由向量组
14、1， 2， 3， 4， 5 线性表示；反过来，假设1， 3， 5 的极大无关组为向量组() ，由于向量组 1， 2， 3， 4， 5 与向量组1， 3， 5 的秩相等，故向量组() 也可以作为 1， 2， 3， 4， 5 的极大无关组，由此可得 1， 2， 3， 4， 5 可由向量组()线性表示，从而可由向量组1， 3， 5 线性表示，从而两者等价，所以选择 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 若 m 可以由()线性表示，则 能由()线性表示，这与题设矛盾，故 m 不能由() 线性表示；因 可以由 1， 2， m 线性表示，即存在一组数k1，k 2，k m，使 =k 11
15、+k22+kmm， 且 km0， 否则 可由1， 2， m-1 线性表示，故 m 可由()线性表示故选 B【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 因 A 是 mn 矩阵，若 R(A)=m，增广矩阵(A，b)也只有 m 行，则m=R(A)R(A，b)m，有 R(A)=R(A，b) ，故 AX=b 有解应选 A；或由 R(A)=m 知 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A ， b)的 m 个行向量也是线性无关的，亦即 R(A)=R(A，b)；关于 B、D 不正确的原因是：由 rn 不能推出 R(A)=R(A，b)(注意：A 是 mn矩阵，m 可能大于 n
16、)，AX=b 不一定有解故 B、D 不成立至于 C，当 m=n 时，AX=b 可能无解，还可能有无穷多解(只有当 r=m=n 时，AX=b 才有唯一解) ，故 C 不成立【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 满足 R(A)=n-2，所以导出组 AX=0 的基础解系中含有 2 个解向量，又 1， 2， 3 是 AX=b 的 3 个线性无关的解向量，所以 1-2， 2-3 均是 AX=0 的解，并且容易验证 1-2， 2-3 线性无关，它们是AX=0 的一个基础解系，因此 AX=b 的通解为 k1(1-2)+k2(2-3)+2【知识模块】 线性代
17、数12 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A，(A T)nm，R(A T)=R(A)=m，与未知数个数相同，故 ATX=0只有零解，A 正确； 选项 B，(A TA)nn，R(A TA)R(A)=mn，故 ATAX=0 有无穷多解，B 正确； 选项 C，R(A T)=m，而设(A T：b)=B 为 m 行，n+1 列矩阵，不能得到 R(AT：b)=m； 选项 D，R(A)=R(A：b)=mn，故 AX=b 总有无穷多解，D正确应选 C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A-E 的特征值为 1-， 2-， 3-，且满足 a- 1-2-3-b- 当 b-0，即 b 时
18、，A-E 的特征值全大于零，A-E 必是正定矩阵所以应选 B【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A、B ； 当12 时，由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1 与 2 必不成比例，故选 D【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 D【试题解析】 对，当 b=c 时，A 是实对称矩阵，必与对角矩阵相似，所以 是A 相似于对角矩阵的充分条件； 其余条件应从 A 的特征值进行判断是否是 A 相似于对角矩阵的充分条件E-A= =2-(a
19、+d)+AD-BC=0，对，当 ad-bc0 时，(a+d) 2-4(ad-bc)0，则由知 A 有两个不同的特征值，则 A 必与对角矩阵相似，所以是 A 相似于对角矩阵的充分条件； 对，当 b，c 同号时，(a-d) 2+4bc0，则由 知 A 有两个不同的特征值，则 A 必与对角矩阵相似，所以是 A 相似于对角矩阵的充分条件；对，当 b，c 异号时 A 不一定能相似于对角矩阵例如设A= ，b=-1 与 c=1 异号，且E-A= =2=0， 1=2=0，对于(0E-A)X=0，N-R(0.E-A)=2-R(A)=2-1=1所以 A= 线性无关的特征向量只有一个， A 不能相似于对角矩阵因此条
20、件、 、是 A 相似于对角矩阵的充分条件，应选 D【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 D【试题解析】 实对称矩阵 A 必合同于对角阵 diag(1，1，-1 ，-1，0，0)，其中 1 的个数为 p，-1 的个数为(r-p)，0 的个数为(n-r)，由合同的传递性知：A 合同于 B A，B 的秩及正惯性指数相等，故选 D【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A【试题解析】 将二次型配方得 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x3)2+4x22+x32，设则 f=y12+4y22+y32，故 A 正确【知识模块】 线性代数二、填空题18 【正确答案】 【试题解析】 按第 1 行展开有
21、D n=(+)Dn-1-Dn-2，整理得 Dn-Dn-1=(Dn-1-Dn-2)，D n-1-Dn-2=(Dn-2-Dn-3)， D n-Dn-1=2(Dn-2-Dn-3)，D n-Dn-1=n-2(D2-D1)=n 同理，因为 D n-Dn-1=(Dn-1-Dn-2)，可解得 D n-Dn-1=n因为 ，所以两式联立消去 Dn-1 可得 Dn=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 由已知条件 ABA-1-AB=6E，所以整理后得 AB(A-1-E)=6E，因为矩阵A 可逆，从而有 B=6A-1(A-1-E)-1=6E(A-1-E)A-1=6(E-A)-1【知识模块】 线性代
22、数20 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*= 其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式，故本题中要求 A1j+A2j+Anj，即要求 A*中第 j 行元素之和因 A 的各行元素之和均为 b，故 ，知幻 b0，因为若=0，则 Ax=0 有非零解，则A=0，与已知 A 可逆矛盾上式左、右两侧左乘 A*，得 A*A，上式左、右两侧同除以 b，得 ，可知 A*的各行元素之和为 ，故Aj+A2j+Anj=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1【试题解析】 R( T)minR(T)，R()=1 又 ， 都不是零向量，故 R(T)0，则 R(T)=1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 -8
23、【试题解析】 由题设知向量 与 线性无关， ， 线性相关，所以R(，)=R(，)=2，即 =0，解方程得 k=-8【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 -1【试题解析】 将方程组的增广矩阵进行初等行变换为：则只有 +1=0 即 =-1 时，R(A)=2，方程组有解且有无穷多解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 0【试题解析】 因任何 n 维列向量都是此方程组的解，故 n 维基本单位向量组 1=也是它的解，即 A(1， 2， n)=AE=0，故A=0， R(A)=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 -5【试题解析】 设矩阵 A= ，A中对角线元素的代数余子式之和为 A11+A2
24、2+A33，即为 A*= 中对角线元素之和，根据特征值、特征向量的性质，矩阵的对角线元素之和等于伴随矩阵的特征值之和，所以A11+A22+A33= 其中 i 是伴随矩阵的特征值由已知条件得到矩阵 A 的特征值为 1，-2 ，3且A=1(-2)3=-6，所以伴随矩阵的特征值为 ，即为-6，3，-2，所以 A11+A22+A33=(-6)+3+(-2)=-5【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 0，0【试题解析】 由 AB 知，A，B 有相同的特征值，故又易求得 B 的特征值为 0，1，2，将 =0 代入得 =，将 =2 及 = 代入得 =0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 0【试题解析】 由E-A = =2(-3)=0，得 A 的特征值为1=3， 2=3=0，因 A 可对角化，故属于 2=3=0 的线性无关的特征向量应有 2 个，即方程组(0E-A)X=0 的基础解系有两个解向量，因此 R(A)=1，于是 a=0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 a1【试题解析】 由 f 的式子可知 f(x1，x 2，x 3)0，等号成立时系数矩阵行列式为=5(a-1)a=1 时，方程组有非零解，也即存在 x0，使得 f(x)=0 a1 时，方程组 只有零解，也即任意 x0，使得 f(x)0所以应该填 a1【知识模块】 线性代数
