1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3 是 3 维列向量，A=( 1， 2， 3)，则a=( )（A） 1-2 2-3 3-1（B） 1+2 2+3 3+1（C） 1+22 3 1+2（D） 1 2+3 3+22+12 设 A=E-2XXT，其中 X=(x1，x 2，x n)T，且 XTX=1，则 A 不是( )（A）对称矩阵（B）可逆矩阵（C）正交矩阵（D）正定矩阵3 设 3 阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（
2、C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b04 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组不全为 0 的数 k1，k 2，k s，使 k11，k 22，k ss0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中存在一个向量不能由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中任何一个向量都不能由其余向量线性表示5 设 A 是 3 阶矩阵， 1=(1，2，-2) T， 2=(2，1，-1) T， 3=(1，1，t) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，则 ( )（A）t=-1，必有 R(A)=1（B） t=-1，必有 A=
3、0（C） t-1，必有 R(A)=1（D）t-1，必有 A=06 设矩阵 是满秩的，则直线 与直线( )（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面7 若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则( )（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示8 已知 n 维向量组() ： 1， 2， s 和向量组()： 1， 2， t 的秩都等于r，那么下述命题不正确的是( )（A）若 s=t，则向量组()与()等价（B）若向量组()是向量组()的部分组，则向量组()与向量组() 等价（C）若向量组()能由向量
4、组()线性表示，则向量组()与向量组() 等价（D）若 R(1， 2， s， 1， 2， t)=r，则向量组()与向量组()等价9 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价10 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，存在 B0，使得AB=0，则( )（A）=-2 且B=0（B） =-2 且B0 （C） 1 且B=0 （D）=1 且B0 11 设 A 为 mn 矩
5、阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量组线性无关（B） A 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性无关（D）A 的行向量组线性相关12 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX=b 的 3 个解，R(A)=3， 1+2=(1，2，3，4) T， 2+23=(2，3，4，5) T，则方程组 AX=b 的通解为( )13 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意实数（C） a=2，b=0（D）b=0，a 为任意实数14 已知矩阵 A= 的特征值之和为 2，特征值之积为-2若 a0，则 b=( )（A）4（B）
6、 -4（C） 2（D）-2 15 已知向量 1 和 2 是方程(E-A)x=0 的两个不同解，则下列向量中必是矩阵 A 的属于 的特征向量的是( )（A） 1（B） 2（C） 1-2（D） 1+216 下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是( )17 设二次型 f=xTAX，其中 AT=A，X=(x 1，x 2，x n)T，则 f 正定的充分必要条件是( )（A）A 的行列式A0（B） f 的负惯性指数为 0（C） f 的秩为 n（D）A=M tM，M 为 n 阶可逆矩阵二、填空题18 行列式 D= =_19 A= ，E 为 3 阶单位矩阵，B=(A-E) -1(A+E)，则(B-E) -1=_20
7、 已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= ，则C3=_21 设 1=(a，b，0) T， 2=(1，1，1) T， 3=(1，1，2) T，且 R(1， 2， 3)=3，则a，b 应满足关系式 _22 设 A= ， a=(a，1，1) T，已知 A 与 线性相关，则 a=_23 设 A=(aij)nn 是正交矩阵，将 A 以行分块为 A=(1T， 2T， nT)T，则方程组AX=b(b=(b1，b n)T)的通解为_24 设 1=(1+，1，1)， 2=(1，1+，1)， 3=(1，1 ，1+)，若 =(0， 2)可以由1， 2， 3 线性表示且表示法是唯一的，则 应满足的条件是 _25 设
8、 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的正特征值，B=(A *)2-4E 的特征值为 0，5，32，则 A的相似对角阵为_26 已知向量 =(0，k，1) T 是矩阵 A= 的逆矩阵 A-1 的特征向量，则常数k=_27 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3 通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，则大于 0 的数 a=_28 已知二次型 XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3 的秩为 2，(2，1，2)T 是 A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是_考研数学一（线性代数）模拟试卷 70 答案与解析
9、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A，因为( 1-2， 2-3， 3-1)=(1， 2， 3) ，所以 1-2， 2-3， 3-1= 1， 2， 3 =A .0=0，故 A不正确选项 B，( 1+2， 2+3， 3+1)=(1， 2， 3) ，所以 1+2， 2+3， 3+1= 1， 2， 3 =2A ，故 B 不正确选项 D，( 1， 2+3， 3+22+1)=(1， 2， 3) ，所以 1， 2+3， 3+22+1= 1， 2， 3 =-A，故 D 不正确选项 C，( 1+2231+2)=(123) ，所以 1+2231+
10、2= 123 =A，故 C 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，A T=(E-2XXT)T=E-2XXT=A，所以 A 是对称矩阵； 选项B，A 2=(E-2XXT)2=E-4XXT+4XXTXXT=E，所以A 2=E，从而A=1 ，所以 A 是可逆矩阵； 选项 C，A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，所以 A 是正交矩阵； 选项 D，AX=(E-2XX T)X=-X，X0，从而 =-1 是 A 的特征值，所以 A 不是正定矩阵【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 R(A*)=1 知 R(A)=3-1=2，则A=0 ，由A= =(a
11、-b)2(a+2b)=0 可得 a=b 或 a+2b=0，但 a=b 时 R(A)-12，故 ab 且 a+2b=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查线性相关、无关的定义因向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，故若 1， 2， s 中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 B=( 1， 2， 3)=(1)当 t-1 时，R(B)=3由于 AB=0，所以 R(A)+R(B)3，故 R(A)=0，A=0可知选 D (2)t=-1 时，R(B)=2，由于 AB=
12、0，所以 R(A)+R(B)3，故 R(A)1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 设 L1：，题设矩阵是满秩的，则由行列式的性质，可知故向量(a 1-b2，b 1-b2，c 1-c2)与(a 2-a3，b 2-b3，c 2-c3)线性无关，否则由线性相关的定义知，一定存在不全为零的数走 k1，k 2，使得 k 1(a1-a2，b 1-b2，c 1-c2)+k2(a2-a3，b 2-b3，c 2-c3)=0，这样上面行列式经过初等行变换值应为零，产生矛盾 (a 1-a2，b 1-b2，c 1-c2)与(a-a，b-b，c-c)分别为 L1，L 2 的方向向量，由方向向量线性相
13、关，两直线平行，可知 L1，L 2 不平行又由 得可见 L1， L2 均过点 (a1-a2+a3，b 1-b2+b3，c 1-c2+c3)，故两直线相交于一点，选 A【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 由向量组 ， ， 线性无关，知 ， 线性无关又因 ， ， 线性相关，故 必可由 ， 线性表出，因此 必可由 ， 线性表示，从而选C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，令向量组()： 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T；向量组( )： 1=(0，0，1， 0)T， 2=(0，0，0，1) T 满足秩相等、向量个数相等，但两者不
14、能相互线性表示，故向量组()与() 不等价，所以(A)不对，故选择 A 在选项 B 中，由于向量组()是向量组()的部分组，所以向量组()的极大线性无关组也是向量组() 的 r 个线性无关的向量，必是向量组()的极大线性无关组，所以向量组()与向量组() 的极大线性无关组等价，必有向量组(I)与向量组()等价，所以选项(B)正确 在选项 C 中，向量组()能由向量组()线性表示，所以向量组() 的极大线性无关组必能由向量组() 的极大线性无关组线性表示，且向量组( )的极大线性无关组也是向量组 1， 2， s， 1， 2， t 的极大线性无关组，即 R(1， 2， s， 1， 2， t)=r，
15、所以向量组()的极大线性无关组也是向量组 1， 2， s， 1， 2， t 的极大线性无关组，向量组()的极大线性无关组必能由向量组() 的极大线性无关组线性表示，即向量组()与向量组()的极大线性无关组等价，必有向量组()与向量组()等价，所以选项C 正确 在选项 D 中，R( 1， 2， s， 1， 2， t)=r，所以向量组()的极大线性无关组与向量组()的极大线性无关组都是向量组1， 2， s， 1， 2， ， t 的极大线性无关组，所以它们可相互线性表示，即向量组()与向量组() 等价，所以选项 D 正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，C 按列分块，A
16、=( 1， n)，C=( 1， n)，由于AB=C，故( 1， n) =(1， n)，即 1=b111+bn1n， n=b1n1+bnnn，即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示由于 B 可逆，故 A=CB-1，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选 B【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 存在 B0，使 AB=0，说明齐次线性方程组 AX=0 有非零解，故解得 =1，而当 =1 时，R(A)=1 ，则 R(B)2，故B=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AX=0 仅有零解的充要条件是 A 的秩 R(A)=n，所以 A 的列
17、向量组线性无关是 AX=0 仅有零解的充分条件，故选 A【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 由于 R(A)=3，所以 AX=0 的基础解系中含有 4-3=1 个线性无关的解向量 A3( 1+2)-2(2+23)=0，所以 3(1+2)-2(2+23)= 为 AX=0 的基础解系又 A(2+23)-(1+2)=b，所以( 2+23)-(1+2)= 为 AX=b 的特解，故方程组 AX=b 的通解为【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 B【试题解析】 令 因为 A 为实对称矩阵，B 为对角阵，则 A 与 B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2，b，0，A 的特征方程
18、因为 =2 是A 的特征值，所以2E-A=0，所以-2a 2=0，即 a=0 当 a=0 时，E-A=2(-2)(-b)，A 的特征值分别为 2，b ，0，所以 b 为任意实数即可故选 B【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查特征值、特征向量的性质：设 n 阶矩阵 A=(aij)nn 的 n 个特征值为 1， n，则 根据题意1+2+3=2=a11+a22+a33=b+(-1)+a+2 b=1-a (1) 又因为 123=-2=A=2a-(a+2)b2a-ab-2b=-2 (2) 将(1)代入 (2)从而解得 a2+3a=0，因 a0，故 a=-3，代入(1)中从而
19、 b=4，所以选择 A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查特征值、特征向量的定义，即设 A 为 n 阶矩阵，若存在常数 和非零 n 维列向量 ，使 A=，则称 为 A 的特征值， 是 A 的属于特征值 的特征向量 定义中能够作为特征向量的一定是非零的，因为 1 和 2 是方程(E-A)x=0 的两个不同解所以能保证 1-2 不为零，故选择 C【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2-x22+x32=y12+y22-y32，所以与 A 合同的矩阵是选项 B 中的矩阵【知识模块】 线性代数
20、17 【正确答案】 D【试题解析】 若 A=MTM，则对任意 X0，均有 MX0(否则由 MX=0 得 X=M-10=0)，于是 f=XTAX=XTMTMX=(MX)T(MX)=MX 20，即 f 是正定的；反之，若 f 是正定的，则存在可逆线性变换 X=PY，使 f 成为规范形，即PTAP=E，由于 P 可逆，故有 A=(PT)-1E(P-1)=(P-1)T(P-1)=MTM(取 M=P-1)【知识模块】 线性代数二、填空题18 【正确答案】 -120【试题解析】 将行列式的第 1 行加到第 4 行上，可提出公因子 10，再将第 4 行逐行相换至第 1 行，得【知识模块】 线性代数19 【正
21、确答案】 【试题解析】 因为 B-E=(A-E)-1(A+E)-E=(A-E)-1(A+E)-(A-E)-1(A-E) =(A-E)-1(A+E-A+E)=2(A-E)-1，所以 (B-E) -1=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B，得 2CA-C=2AB-B故有 C(2A-E)=(2A-E)B因为 可逆，所以 C=(2A-E)B(2A-E)-1那么 C3=(2A-E)B3(2A-E)-1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 ab【试题解析】 因 R(1， 2， 3)=3，故 0，解得 ab【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 -1【试题
22、解析】 ，由于 A 与 线性相关，则存在数k0，使 A=k，即 a=ka，2a+3=k，3a+4=k 三式同时成立，解此关于 a，k 的方程组可得 a=-1k=1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 因 A 为正交矩阵，故 A-1=At，而方程组 AX=b 的解为 X=A-1b=(1T， 2T， nT)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 0 且 -3【试题解析】 设 =x11+x22+x33，则 将其增广矩阵进行行初等变换：则0，否则方程组有无穷多解；-3，否则方程组无解【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【试题解析】 设 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值，依题意
23、 2-4 为 B 的特征值，而A 的特征值均为正数，则A0由 A*的特征值与 A 的特征值的关系得 A 的特征值为为正数，所以 A*的特征值为 2，3，6则2.3.6= A*= A n-1=A 2，故A=6又因为 A=A(A *)-1，所以 A 的特征值为 ，故 A 的相似对角阵为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 -1【试题解析】 设 是 A-1 对应于 的特征向量，即 A-1=，则 A= ，将 A 及 代入得【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 2【试题解析】 二次型矩阵 A= ，于是E-A=(-2)(-3)2-a2=0，将 =1，=5 代入求得 a=2，又a0，故取 a=2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 3y 12-6y32【试题解析】 求二次型 XTAX 在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵 A 的特征值由于 由(2，1，2) T 是 A 的特征向量，有解得 a=b=2， 1=3由秩为2 知A=0，于是 2=0 是 A 的特征值，再由 ，有 1+(-5)+1=3+0+3，则 3=-6 是 A 的特征值因此，正交变换下二次型的标准形是 3y12-6y32【知识模块】 线性代数
