1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 是 3 阶非零矩阵，满足 AB=0，则( )（A）a= 1 时，必有 r(B)=1（B） a=1 时，必有 r(B)=2（C） a=l 时，必有 r(B)=1（D）a=1 时，必有 r(B)=22 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组21+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 A=aij为 n 阶实对称阵，二次型 f(x1，x 2，x n)= 为正定二次型的充分必要条件是( ) （A）A
2、 =0（B） A 0（C） A 0（D）A k0 (k=1，2 ，n)二、填空题4 已知 则 x3 的系数为_5 已知 ABC=D，其中： B*是 B的伴随矩阵，则(B *)1 =_6 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，则 a=_7 设 A 是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足A=0，A= ，A=，则行行列式 A 2+E=_；r(A+E)=_；r(A *)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 1， 2， ， m 均为 n 维实列向量，令矩阵 证明：A 为正定矩阵的充分必要条件是向量组 1， 2， m 线性无关9 已知 3 维列向量 不能由 线性表出，试判断矩阵
3、能否相似对角化?若能则求出可逆矩阵 P 使P1 AP=A若不能则说明理由10 设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明：矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性11 已知 n(n4)维向量组( ) 1， 2 线性无关，(II) 1， 2 线性无关，且 1， 2 分别与 1， 2 正交，证明： 1， 2， 1， 2 线性无关12 已知向量 1=1，0，2，4 T， 2=1，1，3，0 T， 3=2，1，a+2，4T， 4=2，1，3，a+7 T， 1=3，1，a+6 ，a+11 T， 2=0，1，2，a T若 1 可由 1， 2， 3， 4 线性表示
4、， 2 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示，试确定参数 a 的取值及 1 由 1， 2， 3， 4 表示的一般表达式12 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解13 证明：方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=214 求 a，b 的值及方程组的通解15 在 R4 中求一个单位向量，使它与 1=(1，1，1，1) T， 2=(1，1，1，1)T， 3=(2，1，1，3) T 都正交16 设 1， 2 是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值， 是 A 的对应于特征值 1 的一个单位特征向量试求矩阵 B=A 1T 的两个特征值17 已知 =0 是矩阵 的特征值，求 a 的值，并求正交矩
5、阵 Q，使Q1 AQ=A17 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其秩为 r(A)=r18 证明：A 的非零特征值的个数必为 r(A)=r19 举一个三阶矩阵说明对非对称矩阵上述命题不正确19 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵20 计算21 利用上一题的结果判断矩阵 BC TA1 C 是否为正定矩阵，并证明你的结论22 设 A、B 为两个 n 阶矩阵，且 A 的 n 个特征值两两互异，若 A 的特征向量恒为B 的特征向量，则 AB=BA考研数学一（线性代数）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确
6、答案】 C【试题解析】 易见若 a=1 有 r(A)=l，而 a=1 时，r(A)=2，再由 AB=得到 r(A)+r(B)3可见当 a=1 时，r(B)有可能为 1 也可能为 2，即 A、B 均不正确而当 a=1 时，从 B0知必有 r(B)=1，且 r(B)=2 是不可能的故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 记 r(21+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)=r(1， 2， 3， 4， 5)，【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 A 并不是二次型 f 的对应矩阵，而是化标准形(或规范形)时作线性变换的对应矩阵，即令当所作变换Y
7、=AX 是可逆线性变换时，即A0 时，f 是正定二次型故选 B【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填1【试题解析】 根据行列式的定义，f(x)是 x 的多项式，且最高次幂为 x3容易看出，含 x3 的项有两项，即主对角线上 4 个元素之积 x3 和对应于 a11a22a34a43 的项1xx12x=2x 3，所以多项式 f(x)中 x3 的系数为 12=1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填【试题解析】 因为矩阵 A，C 都是初等矩阵，根据初等矩阵的性质，有 B=A1 DC1 又因B = A 1 DC1 =A 1 D C 1 =6故(B *)1 =【知识模块】 线性代数
8、6 【正确答案】 应填 0【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值是 3，3，0 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，故 =3必有两个线性无关的特征向量，因此秩 r(3EA)=1而 3EA= 可见必有 a=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 应填 4；2；1【试题解析】 由题设条件A=0 知 A 有特征值 1=0又由 A=，A= 有 A(+)=A+A=+=1 (+)， A( )=AA=1()可见 A 有特征值： 2=1， 3=1故 A 相似于 从而因为 r(A)=2，故 r(A*)=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确
9、答案】 矩阵 A 可以写成 其中B=1， 2， ， m，为 nm 实矩阵，于是，A=B TB 正定 xTBTBx=(Bx)TBx0 Bx0r(B)=m 向量组 1， 2， m 线性无关【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因为 不能由 1， 2， 3 线性表出，必有 1， 2， 3 线性相关，由由于 =3 是A 的二重特征值，而 所以 =3 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由于经初等行变换由 A 可得到 B，故存在矩阵 P1，P 2，P s，使 Ps P 2P1A=B 对矩阵 A，B 按列分块，并记 A=(1， 2， n)，B=(1
10、， 2， n)，P=P sP 2P1， 则有 P(1， 2， n)=(1， 2， n) 于是 PI=I(i=1，2，n) A 的列向量 线性相关，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 考察 k 11+k22+11+22=0两边分别对 1， 2 作内积，由于(1， 1)=0，( 1， 2)=0，( 2， 1)=0，( 2， 2)=0，故得齐次方程组由于方程组的系数行列式为 =(1， 1)(2， 2)( 1， 2)2， 根据柯西一施瓦兹不等式，当 1， 2 线性无关时，有( 1， 2)2( 1， 1)(2， 2)，故方程组的系数行列式大于零(不等于零)，方程组有唯一零解 k1=k2=0，代入原
11、式得 11+22=0 由 1， 2 线性无关，故 1=2=0，从而 k1=k2=1=2=0，故 1， 2， 1， 2 线性无关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1， 2， 3， 4， 1， 2= 2 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，r(1， 2， 3， 4)+1=r(1， 2， 3， 4， 2)，应有 a=5 或 a=3 1 可由1， 2， 3， 4 线性表出，应有 r1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 1)，应有a3 当 a3，且当 a5 时，方程组有唯一解当 a=5 时，方程组有无穷多解 X=k3，1，0，1 T+1，4，3，0， T， 故 1=(13k)1
12、+(4+k)2+33+k4其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(1 2)=0，A( 1 3)=0 则1 2， 1 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关(否则，易推出1， 2， 3 线性相关，矛盾) 所以 nr(A)2，即 4r(A)2=r(A)2 又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 所以 r(A)2因此 r(A)=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为故原方程组与下面的方程组同解 选 x3，x 4 为自由变量，则k1，k 2 为任意常数【知识模块】
13、线性代数15 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 i(i=1，2，3)都正交，则iT=0(i=1，2，3)，即 解此齐次线性方程组，得其基础解系为 =(4，0，1，3) T， 故与 i(i=1，2，3)都正交的向量全体为 x=k(k 为任意实数)当 k0 时，将非零向量 x=k 单位化，得所求的单位向量为【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 是 A 的属于 1 的单位特征向量，故有 A=1，及T=1，于是有 B=(A1T)=A1(T) =1 1=0=0， 故 0 为 B 的一个特征值，且 为对应的特征向量 设 为 A 的属于特征值 2 的特征向量，则有A=2
14、，且由实对称矩阵的性质，有 与 正交，即 T=0，于是有 B=(A 1T)=A 1(T)=A0= 2， 故 2 为 B 的一个特征值且 为对应的特征向量 所以 B 必有特征值 0 和 2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 =0 是 A 的特征值，故 =(a 2) 2=0，得a=2由 A 的特征多项式 得矩阵 A的特征值 1=2=0， 3=6 由(0E A)x=0 得特征向量 1=(2，1，0)T， 2=(1，0，1) T 由(6EA)x=0 得特征向量 3=(1，2，0) T对 1， 2 正交化得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 是实对称矩阵必可相
15、似对角化，设由于 r(A)=r，故 a1， a2，a n 中有且仅有 r 个数非零，而 a1，a 2，a n 是矩阵 A 的特征值所以矩阵 A 的非零特征值的个数必为r(A)=r【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 例如， 矩阵 A 的特征值是 0，0，0，而 r(A）=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 矩阵 BC TA1 C 是正定矩阵由上一题的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵 又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵 因矩阵 M 为对称矩阵，故 BC TA1 C 为对称矩阵对 X=(0，0，0) T 及任意的Y=(y1，y 2，y n)T0，有 (X T，Y T) =YT(BCTA1 C)Y0故 BC TA1 c 为正定矩阵【试题解析】 判定正定矩阵的典型方法有：(1)用顺序主子式全大于零的方法；(2)用特征值全大于零的方法；(3) 用定义的方法对于抽象矩阵，一般用后两种方法【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
