1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是 n 阶可逆阵，则与 A 必有同特征值的矩阵是( )（A）A 1（B） A2（C） AT（D）A *2 若 1=(1， 1，a，4) T， 2=(2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a4（C） a3（D）a3 且 a43 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至少是 A 的三重特征值（D）重、二重、三
2、重特征值都可能4 设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 则( )（A）a= 1 时，必有 r(A)=1（B） a1 时，必有 r(A)=2（C） a=2 时，必有 r(A)=1（D）a2 时，必有 r(A)=2二、填空题5 设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征值 2 个3，则行列式AB+A =_6 已知 则 r(A)+r(AE)+r(A2E)=_7 设 A 是三阶矩阵，相似于对角阵 设 B=(A 1E)(A 2E)(A 3E)则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 A、B 均为 n 阶方阵，证明：AB=AB 9
3、 证明：方阵 A 是正交阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘110 已知 1=(1，2，1，0，0)， 2=(1，2，0， 1，0)， 3=(0，0，1，1，0)，4=(1， 2， 3，2，0) 是线性方程组 的解向量，问 1， 2， 3， 4 是否构成此方程组的基础解系，假如不能，是多了还是少了?若多了，如何去除? 若少了，如何补充 ?11 已知 k(1，0，2)+k(0，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的通解，又 A+3=0，其中=(1，2，3) T，求矩阵 A11 设 A 是 n 阶反对称矩阵12
4、 证明：对任何 n 维列向量 ，恒有 TA=013 证明：对任何非零常数 c，矩阵 A+cE 恒可逆14 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 1，2， 1，相应的特征向量依次为1=(a1，1，1) T， 2=(4，a ，1) T， 3=(a，2，b) T，A *是 A 的伴随矩阵，试求齐次方程组(A *+E)x=0 的基础解系15 设矩阵 A33 满足 A2=E，但 A士 E证明： r(AE)1r(A+E)1=016 已知 A，B 均是 mn 矩阵，r(A)=ns，r(B)=nr，且 r+sn，证明：线性方程组 AX=0，BX=0 有非零公共解17 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三
5、个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量，证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆阵18 已知 A 是 N 阶实对称矩阵， 1， 2， n 是 A 的特征值， 1， 2， n 是A 对应的 n 个标准正交特征向量，证明：A 可表示为 A=111T+222T+ nnnT18 设 B 是 nn 矩阵，A 是 n 阶正定阵，证明：19 r(BTAB)=r(B)20 BTAB 也是正定阵的充要条件为 r(B)=n21 设 A 为 n 阶正定矩阵，n 维实的非零列向量 1， 2， n，满足iTAi=0(i，j=1，2，n；ij)证明：向量组毒
6、1， 2， n 线性无关22 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A ，A 2 线性无关，且A3=3A2A 2，试求矩阵 A 的特征值与特征向量22 设实对称矩阵23 求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角矩阵24 若 A 可逆，计算行列式A *+2E的值25 设线性方程组 与方程x1+2x2+x3=a 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解25 设三阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 0，1，1， 是 A 的两个不同的特征向量，且 A(1+2)=226 求参数 a 的值；27 求方程组 Ax=2 的通解；28 求矩阵 A；29 求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵30 设有向
7、量组 1=(1，1，1，2) T， 2=(3，a+4，2a+5，a+7) T， 3=(4，6，8，10)T， (1)求向量组 1， 2， 3， 4 的秩及其一个极大线性无关组； (2)若=(0，1，3，6) T 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，求 a，b 的值； (3) 若任何 4 维向量均可由 1， 2， 3， 4， 线性表出，求 a，b 的值考研数学一（线性代数）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A T 和 A 有相同的特征值，因 E+A= (E+A) T= (E)T+AT =E+A T A 和
8、 AT 的特征多项式相等故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是基础解系，则 1， 2， 3 必线性无关，由知a5，r( 1， 2， 3)=3故选 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1 (0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0至少是二重特征值，也可能是三重，例如 r(A)=1， =0是三重特征值故选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB=0 知，r(A)+r(B)3，且 r(A)1 当 a=1 时，r(B)=1，于是 1r(A)2； 当 a1
9、时，必有 a=2，此时 r(B)=2，从而 r(A)=1； 当 a2时，必有 a=1，此时 r(B)1，从而 1r(A)2； 当 a=2 时，有 r(B)=2，从而 r(A)=1故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 应填 144【试题解析】 由于 A，B 为相似矩阵，因此有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=3， 又 AB+A =A B+E， 而A= 123=6， B+E=( 1+1)(1+1)(1+1)=234=24， 故AB+A=624=144 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 9【试题解析】 由 AB 知 A+kEB+kE ，又因相似矩阵有相同的秩故 r
10、(A)+r(AE)+r(A2E)=r(B)+r(BE)+r(B2E)=2+4+3=9【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 应填 0【试题解析】 由 AA，知存在可逆矩阵 P，使 P1 AP= B=(A 1E)(A2E)(A 3E) =(PP1 1E)(PP1 2E)(PP1 3E) =P(1E)P1 P(2E)P1 P(3E)P1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 直接利用分块矩阵，有【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 必要性A 正交 AAT=E=A=1 若A =1 ，则AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而 AT=A*，即 ai
11、j=Aij； 若A =1，则AA*=AE=E，A(A *)=E，而已知 AAT=E，从而有 A*=AT，即 aij=A ij 充分性A=1 且 aij= Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=A E=E，A 是正交阵； A= 1，且 aij=A ij 时，则A *=AT，AA *= AE=E ，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等行变换如下知 r(A)=2，因未知量个数n=5，故基础解系应由 nr(A)=52=3 个线性无关解向量组成， 将行向量组1， 2， 3， 4 作初等行变换如下：得r(1， 2， 3， 4)=2 1， 2 是
12、极大线性无关组 从而知 1， 2， 3， 4 不能构成基础解系，应去除 1， 2， 3， 4 中线性相关的向量(这里应去除 3， 4)，保留极大线性无关组 1， 2，并补充一个线性无关解向量 由方程组的系数矩阵 A 的等价阶梯形矩阵及已知的解向量 1， 2 知，补充一个线性无关解向量 ，应取自由未知量为(0 ，0，1)(使与 1， 2 线性无关)代入阶梯形矩阵，得 =(5，6，0，0，1)，从而 1， 2， 是方程组的基础解系【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 记 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，1) T，由于 k11+k22 是齐次方程组 Ax=0 的通解，知 1， 2 是 A
13、x=0 的解，也即矩阵 A 的属于特征值 =0 的线性无关的特征向量，那么 A 1， 2，=A 1，A 2，A=E0，0，3 可知 A=0，0，3 1， 2， 1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 TA 是 11 矩阵，是一个数，故 TA=(TA)T=TAT(T)T= TA 所以恒有 TA=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (反证法)如果矩阵 A+cE 不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0 有非零解，设其为 ，于是有 A=c，0 左乘 T，得 TA=c T0与上一题矛盾 故矩阵 A+cE 恒可逆【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为实对称矩
14、阵不同特征值的特征向量相互正交，故由A =2，知 A*的特征值是2，1，2那么 A*+E 的特征值是1，0，3又因 A，A *，A *+E 有相同的特征向量于是(A *+E)2=022=0所以 2=(4，1，1) T 是齐次方程组(A *+E)x=0 的基础解系【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 AE，AE0，A+E0，r(A E)1，r(A+E)1 (AE)(A+E)=0，r(AE)2，r(A+E)2又 r(A+E)+r(AE)=3故 r(AE)，r(A+E)必有一个是 1，一个是 2，故r(AE) 1r(A+E)1=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A mnX=0，因 r(
15、A)=ns，故有 s 个线性无关解向量组成 AX=0 的基础解系，设为 1， 2， s B mnX=0，因 r(B)=nr，故有 r 个线性无关解向量组成 BX=0 的基础解系，设为 1， 2， r 因 s+rn，故 s+r 个 n 维向量1， 2， s， 1， 2， ， r 线性相关，即存在不全为 0 的k1，k 2，k s， 1， 2， r，使得 k 11+k22+kss+11+22+ rr=0， 因 1， 2， s 线性无关，1， 2， r 线性无关，故 ki=0(i=1，2，s)， i=0(i=1，2，r)，这和k1，k 2，k s， 1， 2， r 不全为 0 矛盾，故是 AX=0
16、的解，=也是 BX=0 的解)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关(11+22， 22+33， 33+11)=1， 2， 3 中的矩阵行列式=1230A= 1230，即 A 是可逆阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 取 Q=1， 2， n，则 Q1 =QT，且 Q1 AQ=QTAQ=diag1， 2， n，A=QAQ T=111T+222T+ nnnT【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 是正定阵，存在可逆阵 D，使得 A=DTTD， r(B TAB)=r(BTDTDB)=r(DB)T(DB)=r
17、(DB)=r(B)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 必要性A 正定，且 BTAB 正定，由(1)知，r(B)=r(B TAB)=n，故r(B)=n 充分性 A 正定，r(B)=n ，则 BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因 r(B)=n，D可逆，故 DB 可逆，从而 BTAB 正定【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设有组数 x1，x 2，x n，使得 x11，x 22，x nn=0，两端左乘 1TA，得 x 11TA1=0，由 A 正定及 10，得 1TA10，故 x1=0，同理可得x2=xn=0，故 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案
18、】 由于 A3+2A23A=0 ，有 A(A 2+2A3)=0=0(A2+2A3) 因为 ，A，A 2 线性无关，故必有 A2+2A30，所以 =0 是 A 的特征值， A 2+2A3 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量 类似地，由 A3+2A23A=0，有 (AE)(A 2+3A)=0=0(A2+3A)， (A+3E)(A 2A)=0=0(A2A) 所以，=1 是 A 的特征值，A 2+3A 是属于 =1 的特征向量；=3 是 A 的特征值， A 2A 是属于 =3 的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为可得到矩阵 A 的特征
19、值为 1=2=a+1， 3=a2 对于 =a+1，由(a+1)E Ax=0，得到属于特征值 =a+1 的线性无关的特征向量1=(1， 1，0) T， 2=(1，0，1) T 对于 =a2，由 E(a2)EAx=0，得到属于特征值 =a2 的特征向量3=( 1，1， 1)T那么，令【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由于矩阵 A 的特征值是 a+1，a+1，a2，故A=(a+1) 2(a2)，那么伴随矩阵 A*的特征值是(a+1)(a2)，(a+1)(a 2)，(a+1) 2 故 A *+2E 的特征值是 a2a，a 2a，a 2+2a+3 所以，行列式A *+2E=(a 2a) 2(a2
20、+2a+3)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 将与 联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解，且 的解即为所求全部公共解对的增广矩阵 作初等行变换得： 1)当 a=1时，有 方程组有解，即与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时 方程组 为齐次线性方程组，其基础解系为： 所以，与 的全部公共解为 k 为任意常数2)当 a=2 时，有 方程组有唯一解，此时 故方程组 的解为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 若 1， 2 均为 1=0 的特征向量，则有 A(1+2)=A1+A2=0?1+0 2=02，矛盾 若 1， 2 均为 2=3=1
21、的特征向量，则有A(1+2)=A1+A2=1 1+1 22，同样矛盾 可见 1， 2 是属于实对称矩阵 A的两个不同特征值的特征向量，且 1 是属于特征值 1=0 的特征向量， 2 是属于特征值 2=3=1 的特征向量，根据实对称矩阵的性质， 1， 2 必正交，故有1T2=1a=0，得 a=1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 A 可对角化，且 可见秩 r(A)=2，于是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3r(A)=1而 A1=0 1=0，因此 1 可作为 Ax=0 的基础解系，又 A2=2， 2 是 Ax=2 的特解故 Ax=2 的通解为 其中 k 为任意常
22、数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 2=3=1 的另一特征向量为 则 3 与 1 正交，不妨进一步要求 3 与 2 也正交，则有由 A1， 2， 3=11， 22， 33，得 A= 11， 22， 33 1， 2， 3【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 1， 2， 3 已经两两正交，只需单位化：令Q=1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵，且有【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，对( 1， 2， 3， 4，) 作初等行变换，有 (1)当 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=2，极大线性无关组是 1， 2(不唯一，也可以是 1， 3 或 1， 4)； 当 a=1 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=3，极大线性无关组是1， 3， 4(或 2， 3， 4)； 当 a1 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=3，极大线性无关组是 1， 2， 4(或 1， 3， 4 或 2， 3， 4)(2) 方程组x11+x22+x33+x44= 无解，也就是 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，此时条件为： 或 b1(3) 任一个 4 维向量 可由 1， 2， 3， 4， 线性表出的充分必要条件是秩 r(1， 2， 3， 4，)=4，即 且 b1【知识模块】 线性代数
