1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 A 可逆，则 B1 等于( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P12 设 n 阶非奇异矩阵 A 为 mn 的矩阵，B 为 ms 的矩阵，已知矩阵方程 AX=B 有解，则必有( ) （A）r(A)r(B)（B） r(A)r(B)（C） r(A) 0（D）r(B) 03 设 A 为三阶矩阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1， 2， 3 分别为对应的三个特征向量，则( ) （A） 1， 2， 3 为矩阵 2EA 的特征
2、向量（B） 1 2 为矩阵 2EA 的特征向量（C） 1+2 为矩阵 2EA 的征征向量（D） 1， 2 为矩阵 2EA 的特征向量， 3 不是矩阵 2EA 的特征向量二、填空题4 已知 A、B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= 则 AB=_5 已知 A=1,2,3,4，其中 1， 2， 3， 4 为四维向量，方程组 Ax=0 的通解为k(2,1,2,5) T则 4 可由 1， 2， 3 表示为_ 6 设二次型 f=x12+2x1x2+2x2x3，则二次型 f 的正惯性指数为 _三、解答题解答应写出文字
3、说明、证明过程或演算步骤。7 设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)7 设 A 是 n 阶方阵，E+A 可逆，记 f(A)=(EA)(E+A) 1 ，证明：8 (E+f(A)(E+A)=2E9 f(f(A)=A10 设 问是否存在非单位阵的 B33，使得 AB=A若不存在，说明理由若存在，求出所有满足 AB=A 的 B(BE)11 设 A 为 mn 矩阵，证明：非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是对齐次线性方程组 ATy=0 的任何解向量 u 均有 UTb=u1b1+u2b2+umbm=012 设 A 是三阶
4、实对称矩阵，特征值是 1，0，2，矩阵 A 的属于特征值 1 与2的特征向量分别是(1，2，1) T 与(1，1，a) T，求 Ax=0 的通解13 已知向量组() 1=(1，3，0，5) T， 2=(1，2，1，4) T， 3=(1，1，2，3) T 与向量组( )1=(1，3，6，1) T， 2=(a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值14 已知 问 a，b 为何值时， 不是 1， 2， 3， 4 的线性组合?a，b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4 的唯一线性表示式? 并写出该表示式15 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1， 0，1，1 T， 2=2，1，0，1T， 3
5、=0，2，1，1 T，添加两个方程 后组成齐次方程组()，求() 的基础解系16 设三元非齐次方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，1，1 T， 3+1=0，2，0 T求该非齐次方程组的通解16 已知非齐次线性方程组17 求解方程组() ，用其导出组的基础解系表示通解18 当方程组() 中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()、()同解19 设 A 为 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，证明：AB 和 BA 有相同的非零特征值19 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，其中 n0，若A1=2,A
6、2=3，A n1 =n，A n=020 证明： 1， 2， n 线性无关21 求 A 的特征值、特征向量22 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A2A 2，证明：矩阵 B=，A ，A 4可逆22 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=2， 1=(1，1，1) T 是 A 的属于1 的一个特征向量，记 B=A54A 3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵23 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值和特征向量24 求矩阵 B25 判断 是否可对角化?并说明理由考研数学一（线性代数）模拟试卷 78 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P1 是单位矩阵交换第、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是单位矩阵交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 B=AP2P1，从而 B1 =(AP2P1)1 =P11 P21 A1 =P1P2A1 故选 C设 E 为 n 阶单位矩阵，E(i ，j) ，E (i(k) ，E(i，j+i(k)分别是将 E 交换第 i，j 两行、第 i 行乘以非零的 k 倍、将第 i 行的 k 倍加到第 j 行上去所得到的初等矩阵，则有 E(i，j) 1=E(i，j)，E(i(k)1 = E(i，j+i(k) 1 =E(i，j
8、+i(k)对于列变换的情形有类似的结果【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 r(B)=r(AX)r(A)故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 利用特征值、特征向量的定义可直接导出(A)正确注意 2EA 的特征值为 1，1，0故选 A【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填【试题解析】 由题设有 2 1 2+23+54=0，于是【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 2【试题解析】 由于二次型 f 的矩阵为 A 的特征方程是故 A 的特征值为 1=1，从而 A 有两个正
9、特征值因此，二次型 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 设矩阵 A，X 和 B 按列分块为 则AX=Ax1，x 2，x p=Ax1，Ax 2，Ax p，故 AX=B 可以写成 AXj=j (j=1，2，p)，所以，矩阵方程 AX=B 有解 线性方程组 AXj=j 有解(j=1，2，p) 向量 j 可由 A 的列向量组 1， 2， n 线性表出 向量组1， 2， n 与向量组 1， 2， n， 1， 2， p 等价 r( 1， 2， n)=r(1， 2， n， 1， 2， p) r(A)=r(AB)【知识模块】 线性代数
10、【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (E+f(A)(E+A)=E+(EA)(E+A) 1(E+A) =E+A+EA=2E【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 f(f(A)=(Ef(A)(E+f(A) 1 =E(EA)(E+A) 1 E+(EA)(E+A)1 1 =E(E+A)(E A)(E+A)1 E+(EA)(E+A) 11 =2AE+(EA)(E+A)1 (E+A)1 =2A(E+A)+(EA)1 =2A(2E) 1 =A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 AB=A ，A(BE)=0，BE，BE0 故当 A 可逆时，AX=0 有唯一零解，不存在 BE，使得 AB=A 当 A 不
11、可逆时，AX=0 有非零解，存在BE，使得 AB=A 成立 因A 不可逆，且 AX=0 有通解 其中 k1，k 2，k 3 是不同时为 0 的任意常数，得使得 AB=A 成立【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 必要性把 A 按列分块为 A=1， 2， n，其中j(j=1，2，n) 都是 m 维列向量，由于方程组 Ax=b 有解，所以存在向量k1，k 2，k nT 使 b=k 11+k22，+k nn又因 AT=1， 2， nT= 故满足方程组 A Ty=0 的任何解向量 u 均有 jTu=0(j=1，2，n)因此， uTb=bTu=k11Tu+k22Tu+knnTu=0 充分性由于满足方
12、程组 ATy=0 的任何解向量 u 均有 uTb=bTu=0，所以 u 满足方程组令 r(A)=r，则，r(A T)=r从而方程组 ATy=0 的基础解系含 mr 个线性无关的解向量因为满足方程组ATy=0 的任何解向量 u 都满足方程组，以及满足方程组的任何解向量 u 必满足方程组 ATy=0，所以方程组与方程组 ATy=0 同解，故方程组 的解空间的维数为 mr ，于是 因而 r(A)=rAb=r，故非齐次线性方程组 Ax=b 有解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，必可相似对角化，有知 r(A)=2对应实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 1+(2)+
13、a=0，得 a=1，设 =0 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，由正交性，有 得 =(1，0，1) T 是 A 属于 =0 的特征向量，亦即Ax=0 的解 由于 nr(A)=32=1 ，可见 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的通解是 k(1，0，1) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1+22=3，故只需考查 1， 2 与 1， 2 的互相线性表出的问题( 1， 2 1， 2) 方程组x11+x22=2 有解 63a=0 ， 22a=0 a=1，b=3即( )可由()线性表出的充要条件是 a=1，b=3 反之，当 a=1，b=时，( 1， 2 1， 2)=方程组 x
14、11+x22=1 与x11+x22=2 均有解，说明 () 可由()线性表出，所以()与()等价时a=1，b=3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1， 2， 3， 4， a=1，b0 时，B 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出；a1 时，B 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示式唯一，【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方程组()的通解为 k11 + k22+ k33= 代入添加的两个方程，得 得 1=2，3，0 T， 2=0，1，1 T，故方程组( )的基础解系为 1=2132=4，3，2，5T， 2=2 3=2，1，1，0 T【知识模块】 线性代数16 【正确答案
15、】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)( 2+3)=1 3=1，3，2 T， 2=(2+3)( 3+1)=2 1=2，3，1 T 因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = (3+1)=0，1，0 T 故 AX=b 的通解为 k 11，3，2T+k22，3，1 T+0，1，0 T，k 1，k 1 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 将() 的增广矩阵作初等行变换，得得方程()的通解为=k1，1，2，1 T+2， 4，5，0 T【知识模块】 线性代数1
16、8 【正确答案】 方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()、()同解，即()、() 同解时，(中参数应为何值 ()、()同解=()的通解也是()的通解将()的通解代入( ) 的方程，得得 m=2，n=4，t=6当m=2， n=4， t=6 时，方程组()的增广矩阵是 因 r(B)=r(Bc)=3 ，故知()的通解是()的解，且是 ()的通解，也是()的通解，故当 m=2，n=4，t=6 时，方程组()、() 同解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 为 BA 的一个非零特征值， 是 BA 的属于 的特征向量，则 BA=(0)在此等式两端左乘矩阵 A，则A(BA)=AB(A)
17、=(A)(0)再证 A0事实上，若 A=0，则BA=B0=0=(0)，于是 =0，矛盾所以 A0于是 为 AB 的非零特征值，且 A 是 AB 的属于 的特征向量同理可证，AB 的非零特征值 也是 BA 的非零特征值，故 AB 与 BA 有相同非零特征值如 是 AB 的属于 的特征向量，则 B 是 BA 的属于 的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 k11+k22+knn=0， 据已知条件，有 A 1=2， A21=A2=3， A n1 1=An2 2=A n1 =n， An1=An1 2=A n=0， 于是，用 An1 左乘式，得 k 1n=0 由于
18、n0，得 k1=0 再依次用 An2 ，A n3 ，左乘式，可得到 k2=k3=kn=0，所以 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 将 A1=2，A 2=3，A n=0 用矩阵表示为 A 1， 2， n=1， 2， n1 ，0 从 1， 2， n 线性无关知，矩阵 1， 2， n可逆，从而 得知 A的特征值全为 0，又因 r(A)=r(B)=n1，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系仅由n(n 1)=1 个向量组成，所以 A 的全部特征向量为 kn，k0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 B=，A，A 4= 易知B = a，A，A 2 =7a， A
19、，A 20，可见 B 为可逆矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A1=1 得 A21=A1=1， 进一步 A 31=1，A 51=1， 故 B1=(A54A 3+E)1 =A514A 31+1 =141+1 =2 1， 从而 1 是矩阵 B 的属于特征值2 的特征向量 由 B=A54A 3+E 及 A 的 3 个特征值1=1， 2=2， 3=2，得 B 的 3 个特征值为 1=2， 2=1， 3=1 设 2， 3 为 B的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又因为 A 是对称矩阵，得 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2， 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0， 所以 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：故 B 的全部特征值的特征向量为 其中 k1 是不为零的任意常数，k 2，k 3 是不同时为零的任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 =(+a1)(a)(a1) 1=1a ， 2=a， 3=a+11)当 1， 2， 3 两两不相同时，即12， 13， 23 a0，此时 A 可对角化； 2)当A 不可对角化；3)当 a=0 时，1=2=1， 3=0，r(1EA)=2 ，A 不可对角化【知识模块】 线性代数
