1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P(3 2，一 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQB（C） r(A) r(B) （D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（C）
2、若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 相似的矩阵为( )5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P1 APB（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQB（C）
3、 A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题7 设 ，A0 且 A*的特征值为一 1，一 2，2，则a11a 22a 33_8 设三阶矩阵 A 的特征值为 1一 1， ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P(2 3，一 31，一 2)，则 P1 (A1 2E)P_9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的 三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1 2)，A 2(1 2 3)线性无关，则 1， 2， 3满足_10 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1 1 2，Aa 2 2
4、 3，A 3 3 1，则A_11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1(a ，一 a，1) T 是方程组 AX0 的解，2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a_12 设 有三个线性无关的特征向量，则 a_13 设 有三个线性无关的特征向量，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2A，r(A) r求5EA 14 设 相似于对角阵求：15 a 及可逆阵 P，使得 P 1APA ，其中 A 为对角阵；16 A10017 设 有三个线性无关的特征向量，且 2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵1
5、8 设 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201018 设 ，方程组 AX 有解但不唯一19 求 a；20 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵；21 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵21 设矩阵22 若 A 有一个特征值为 3，求 a；23 求可逆矩阵 P，使得 pTA2P 为对角矩阵23 设矩阵 可逆， 为 A*对应的特征向量24 求 a，b 及 对应的 A*的特征值，25 判断 A 可否对角化25 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1一12 22 3，A 22 1 一 2 一 23，A 32 1 一 22 一 3
6、26 求矩阵 A 的全部特征值；27 求A *2E28 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A *)2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A1 的特征值并判断 A1 是否可对角化28 设 的一个特征值为 12，其对应的特征向量为29 求常数 a， b，c ；30 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由30 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量31 证明 ，A 线性无关；32 若 A2A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；32 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向
7、量，且满足A1 2 3，A 2 1 3，A 3 1 233 求矩阵 A 的特征值；34 判断矩阵 A 可否对角化34 设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：35 ABBA ；36 存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵37 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP38 设 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 An38 39 求 A；40 求A *3E40 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 12 是A 的特征值，
8、对应特征向量为(一 1，0，1) T41 求 A 的其他特征值与特征向量；42 求 A考研数学一（线性代数）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32，一 3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以，选(C)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，显然 A，B 有相同的特征值，而r(A)r(B)，所以 (A)，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(EA) n，则EA0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的
9、每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATAE，令 AX X(其中 X0)，则 XTATX T，于是 XTATAX 2XTX，即( 2 一 1)XTX0，而 XTX0，故 21，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 ，A
10、的两个特征值都是 0，但 r(A)1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ；因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是，故选(D)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选(D)【知识模块】 线性代数部分二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *A 24，且A0，所以A2，又AA*AE2E，所以 A1 ，从而 A1 的特征值为 ，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为
11、一 2，一 1，1，于是 a11a 22a 33一 211一 2【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 【试题解析】 P 1 (A1 2E)PP 1 A1 P2E，【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 【试题解析】 令 x11x 2A(1 2)x 3A2(1 2 3)0，即 (x 1 1x2 12x3)1 (2x2 22x3)2 32x330，则有 x1 1x2 12x30， 2x2 22x30， 32x30，因为 x1，x 2，x 3 只能全为 零，所以【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 2【试题解析】 令 P( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P
12、 可逆，【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 10， 2一 1 为矩阵 A 的特征值，1 (a，a，1) T， 2(a，1，1 一 a)T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2a 2一 a1 一 a0，解得 a1【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 4【试题解析】 由 (1)( 一 1)20 得 1一1， 2 31因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)1，解得a4【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 0【试题解析】 由E 一 A0 得 A
13、的特征值为 1一 2， 2 36因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 可以对角化由 A2A，得AEA0，所以矩阵 A 的特征值为 0，1因为r(A)r ，所以 1 为 r 重特征值， 0 为 n 一 r 重特征值，所以 5EA 的特征值为 6(r 重)，5(nr 重)，故5EA5 nr 6r【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分17 【正
14、确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)1，而 2EA ，所以x2，y一 2【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 21， 3 4一1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 因为方程组 AX 有解但不唯一，所以A 0，从而 a一 2或 a1【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 由E 一 A( 3)( 一 3)0 得 10， 23， 3一3由(OEA)X0 得 10 对应的线性无关
15、的特征向量为 由(3EA)X0 得 23 对应的线性无关的特征向量为 由(一 3EA)X0 得 3一 3 对应的线性无关的特征向量为 ，【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 E 一 A( 2 一 1)2 一(a2)2a 一 1，把 3 代入上式得 a2，于是【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由E 一 A20 得 A2 的特征值为 1 2 31， 49当1 时，由(EA 2)X0 得 1(1，0，0，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0，0，一 1，1) T；当 9 时，由 (9EA2)X0 得
16、 4(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得 1 (1，0，0，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3 ，将 4 规范化得 令 P( 1， 2， 3， 4) ，则PTA2P .【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A 1，则有【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 ，因为 r(2EA)2，所以 2 32 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为A一 5，所以 A*的特征值为
17、 1，一 5，一 5，故 A*2E的特征值为 3，一 3，一 3从而A *2E27【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B(A *)2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以 (A *)2 的三个特征值为 4， 9，36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *36A 31 ，所以A6由，得 13， 22， 31，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A1 的特征值为 因为 A1 的特征值都是单值，所以 A1可以相似对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分30 【正
18、确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1k 2A 0，显然 k20，所以 ，矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 线性代数部分32 【正确答案】 由 A2A6 0，得(A 2A6E)0， 因为 0，所以r(A2A6E)2，从而A 2A 一 6E0，即 3EA 2EA 0，则3EA 0 或2EA0 若3EA0，则 3EA 可逆，由(3EA)(2EA)0 得 (2EA)0，即 A2 ，矛盾； 若2EA0，则 2EA 可逆，由(2E A)(3EA)0，得 (3EA) 0，即 A一 3，矛盾，所以
19、有3EA 0 且2EA0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A可对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 30， 由 A(1 2 3)2( 1 2 3)，得 A 的一个特征值为 12； 又由 A(1 一 2)一( 1 一 2)，A(2 3)一 (2 3)，得 A 的另一个特征值为 2一 1因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关，所以 2一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 因为 1 一
20、 2， 2 一 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 由 ABAB 得 ABABE E，(E 一 B)(EA)E ，即 E 一 B 与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(E A) E(EA)(EB)，故 ABBA【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA( 1， 2， 3)B( 1， 2
21、， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)B( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 AB i iBi，i 1，2，3 若 Bi0，则Bi 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi ii； 若Bi0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P( 1， 2， 3)，则 P1 AP，P 1 BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且AB 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得
22、P1 APB， 而A*AA 1 ，B *BB 1 ， 于是由 P1 APB ，得(P 1 AP)1 B 1 ，即P1 A1 PB 1 ， 故 P1 AA 1 PAB 1 或 P1 A*PB *，于是 A*B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P1 APB，即 APPB，于是APPBPP 1 P(BP)P 1 ，故 APBP【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 A2，A *对应的特征值为 ，即 2，一 1，一2，A *3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *3E 10【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有【知识模块】 线性代数部分42 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
