1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出3 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下
2、列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1 3， 2 4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1 4， 2 4， 3 4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关4 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1 2， 1 2 3 （B） 1 2， 1 一 2，一 3（C）一 1 2， 2 3， 3 一 1 （D） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 15 设向量组 I： 1， 2， r 可
3、由向量组： 1， 2， 3 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组(I)必线性相关（D）当 rs 时，向量组(I)必线性相关6 若 r(1， 2， s)r，则（A）向量组中任意 r 一 1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r7 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1 2， 2 3， s1 s， s 1也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向
4、量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s1 线性表出8 设 A 是 mn 矩阵，r(A)mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组 Axb 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA0，则 B0（D）行列式A TA0 二、填空题9 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB2AB，其中 A ，则B 2E_10 设 A2BAE，其中 A ，则 B_11 设 XAA TX，其中 A ，则 X_12 已知
5、 A ，矩阵 X 满足 A*XA 1 2X ，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X_13 向量组 1：(1 ，0，1， 2)1， 2(1，1，3，1) T， 3(2，一 1，a1，5) T 线性相关，则 a _14 已知 1(a，a，a) T， 2(一 a，a ，b) T， 3(一 a，一 a，一 b)T 线性相关，则a，b 满足关系式 _15 已知 1， 2， 3 线性无关， 1 2，a 2 一 3， 1 一 2 3 线性相关，则a_16 若 (1 ，3，0) T 不能由 1(1，2，1) T， 2(2 ，3，a) T， 3(1，a 2，一 2)T 线性表出，则 a_17 任意 3 维向量都
6、可用 1(1，0，1) T， 2(1，2，3) T， 3(a ，1，2) T 线性表出，则 a_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 19 20 设 A，B 均为 n 阶矩阵，EAB 可逆，化简(EBA)E 一 B(EAB) 1 A21 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABAC 1 ，证明 BACCAB22 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是ABBA23 设 A 是 n 阶矩阵，A m0，证明 E 一 A 可逆24 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，
7、E 为 n 阶单位矩阵(I)计算并化简 PQ；()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b25 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E A) 1 是正交矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 87 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1(1 ，1，1)T， 2(1，2，3) T， 3(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1 2 一 30， 1， 2， 3
8、 线性相关(C)是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s1 线性无关 1， 2， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s1 线性无关(D) 是线性相关的意义故应选(D) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1(1，0)， 2(2，0)， 3(0 ，2) ， 4(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1 3(1，2)， 2 4(2，3) 线性无关故(A) 不正确 对于(B)，取 4一 1，即知(B)不对 对于(D) ，可考察向量组(1，0，0)，(0，1， 0)，(0，0，1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对
9、 至于(C)，因为 4 个 3维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由( 1 一 2)( 2 一 3)( 3 一 1) 0，可知 12， 2一 3， 3 一 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B) ，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断例如，(A)中 r(1， 1 2， 1 2 3)r( 1， 1 2， 3)r( 1， 2， 3)3或( 1， 1 2， 1 2 3)(
10、 1， 2， 1， 2 3) 由行列式 0 而知1， 1 2， 1 2 3 线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 用【定理 38】的推论，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明 (A)，(B)，(C)均不正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性无关，而任 r1 个向量必线性相关所以应选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例
11、如，1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如，1， 2， s 与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A1，A 2，A s)A( 1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)rA( 1， 2， s)r(1， 1， s)s ， 所以， A1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) (D) ：要正确理解线性相关的意义【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 例如， ，只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn
12、 矩阵，mr(A)r(Ab)m于是 r(A)r(Ab) mn(B) 正确由 BA0 知 r(B) r(A)m，又 r(A)m，故 r(B)0，即 B0(C)正确A TA 是 n 阶矩阵，r(A TA)r(A)m TA0，即(D)正确【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 由 AB 一 2AB2E2E ，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)2E，则(AE)(B 一 2E)2E所以 B 一 2E一 2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由于 BAA 2 一 E，又 A 可逆，则有 B(A 2 一 E)A1 A A1 【知识模块】 线性代数11 【
13、正确答案】 【试题解析】 由 XAXA T 有 X(AE)A T，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*AE 代入得A XE2AX，移项得 (A E 一 2A)XE故 X(AE 一 2A)1 由A 4 知 X(4E 一 2A)1 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -1【试题解析】 1， 2 3。线件相关甘 r(1 2， 3)3故 a一 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 a 0 或 ab【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n0而故 a0 或 ab【知识模块】 线性代数15 【正确答
14、案】 a 2【试题解析】 记 1 1 2， 2a 2 一 3， 3 2 一 2 3，则 1， 2， 3 线性相关 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 -1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 x11x 22x 31 无解又因为 a一 1 时方程组无解，所以 a一 l 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出 r(1， 2， 3)3因而所以 a3 时，任何 3 维向量均可由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A ，则由 r(B)1，知【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (E BA)EB(EAB) 1 A EBAB(EAB) 1 ABAB(EAB) 1 A EBAB(EAB)(EAB) 1 AE BA BAE【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABACE，即 A1 BAC又 CABAE ，得 A1 CAB 从而 BACCAB【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 ATA，B T一 B，那么(AB) TB TAT一 BA 若 AB 是反对称矩阵，则
16、(AB) T一 AB，从而 ABBA反之，若 ABBA ，则(AB) T一BA一 AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 Am0，有 EAmE于是 (E A)(EA A 2A m1 )EA mE 所以 EA 可逆，且(EA) 1 EAA 2A m1 【注】 也可用特征值证 Am0 说明 A 的特征值全为 0，1 不是 A 的特征值，因此 EA 可逆【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (I)由 AA*A *AAE 及 A*A A 1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故QA(b 一 TA1 )由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b 一 TA1 0，即 TA1 b【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (EA)(EA) 1 (EA)(EA) 1 T (EA)(EA) 1 (EA)1 T(EA)T (EA)(E A)1 (EA) T1 (EA) (E A)(EA) 1 (EA)1 (EA) (E A)(EA)(EA) 1 (EA) (E A)(EA)(EA) 1 (EA) (EA)(E A)1 (EA) 1 (EA)E 所以 (EA)(EA) 1 是正交矩阵【知识模块】 线性代数
