1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 89 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） 1 A n1 （B） 1 A（C） A（D）A n1 2 设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 E 的一个特征值是3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax0 的基础解系， 3 是属于特征值 1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 13 2（B） 1 一 2（C） 1 3（D）2 34 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（A）(AE)
2、2（B） 2A（C） AT（D）A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） EAA 2A m1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 四元方程组 Axb 的三个解是 1， 2， 3，其中 1(1，1，1，1)T， 2 3(2，3，4，5) T，如 r(A)3，则方程组 Axb 的通解是_8 设 A 为三阶非零矩阵，B ，且 AB0，则 Ax0 的通解是_9 设 A ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x0 的通解是_10 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程
3、组 Axb 的解，如果c11c 22c tt 仍是 Axb 的解，则 c1c 2c t_11 已知方程组 的通解是(1，2，一 1，0) Tk(一 1，2，一 1，1) T，则 a_12 已知 1(一 3，2，0) T， 1(一 1，0，一 2)T 是方程组 的两个解，则此方程组的通解是_13 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_14 设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则(A *)2E 必有特征值_15 已知一 2 是 A 的特征值，则 x_16 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A25A0，则 A 的特征值是_。17 已知 (1
4、，1，一 1)T 是矩阵 A 的特征向量，则 x_18 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_19 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1(1，2，1) T 与 2(1，一 1，1) T 分别是 0 与 1 的特征向量，则 2 的特征向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求齐次方程组 的基础解系21 求线性方程组 的通解，并求满足条件的所有解22 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解23 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解24 设 A 是 n 阶矩阵，证明方
5、程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0.25 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系.考研数学一（线性代数）模拟试卷 89 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A，则 A1 从而 A* 故选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A，则 E 3(A 1 )2 当 2时，知 E 有特征值 选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 A 10，A 20，A 3 3则 A(13 2)0，A( 1 一 2) 0，A( 1 2)0，A(2 3)2 3 因此(
6、A) ，(B)，(D)都正确 A( 1 3) 3，和 1 3 不相关，因此 1 3 不是特征向量，故应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由EA T(EA) TE 一 A，知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E A)x0 与(E AT)x0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和(D)特征值都是 0，0 ，3在(B)中， nr(0EA) 2，说明 0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中，
7、nr(0E A)1，说明 0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A，0，则 Am m0故 0(A) 正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax0 的基础解系有 nr(A)个解，即 A0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(EA)(EAA 2A m1 ) EAmE，知(C)正确 故应选(D) 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (1，1，1，1) Tk(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2 3)一 21( 2 一 1)( 3 一 1)(2，3，4，5) T 一
8、2(1，1 ，1，1) T(0 ，1，2，3) T，知(0 ，1，2，3) T 是 Ax0 的解 又秩 r(A)3，nr(A)1，所以 Axb 的通解是(1，1，1 ，1) Tk(0，1，2，3) T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 c 1(1，4， 3)Tc 2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB0 得 r(A)r(B)3 显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)1，nr(A)2又 AB0 说明 B 的每个到向量都是 AX0 的解，取它的 1，3两列作为基础解系，得 AX0 的通解 c1(1，4，3) Tc 2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任
9、意【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k 1(1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)2，所以行列式A0，并且 r(A*)1 那么A*AAE0，所以 A 的列向量是 A*X0 的解 又因 r(A*)1，故 A*x0的通解是 k1(1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Axb 的解，所以，A ib 若 c11c 22c tt 是Axb 的解，则 A(c 11c 22c tt) c 1A1 c22c tAt (c 1c 2 c t)bb 故 c1c 2c t1【知识模块】 线性代数11 【正
10、确答案】 3【试题解析】 因(1，2，一 1，0) T 是 Axb 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b1 因(一 l，2，一 1，1) T 是 Ax0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出a3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (一 3，2，0) Tk(一 1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 一 2 是Ax0 的非零解，知 r(A)Tk( 一 1，1，1) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0，nr(A)【试题解析】 r(A) A0 0 必是 A 的特征值由 r(A) Ax0 有非 0解设 1， 2， nr(A)
11、是 Ax0 的基础解系，则 Aj00 j，即j(j1，2，nr(A)是 0 的特征向量因此 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 0 至少是矩阵 A 的 n 一 r(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 A*的特征值为 (A*)2 的特征值为(A*)2E 的特征值为 1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 -4【试题解析】 因为一 2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 5，5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A又 r(A)2，所以 r()2设
12、A (0)，由 A25A 0 得 250因此 A 的特征值为 0 或一 5从而所以矩阵 A 的特征值是： 5，5，0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 4【试题解析】 设 A，即【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即从而 所以矩阵 A 必有特征向量【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 t(一 1，0，1) T，t0【试题解析】 设 2 的特征向量是 (x 1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有所以 2 的特征向量是t(一 1，0，1) T，t0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
13、算步骤。20 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换，有当 al 时，r(A)3，取自由变量 x4 得 x41，x 30，x 2一 6，x 15基础解系是(5，一 6，0，1)T当 a1 时，r(A)2取自由变量 x3，x 4，则由 x31，x 40 得 x2一2，x 11，x 30，x 41 得 x2一 6，x 15，知基础解系是(1，一 2，1，0)T， (5，一 6， 0，1) T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x30，x 40 得 x21，x 12即 (2，1，0，0) T导出组的解：令x31，x 40 得 x23，x 11即 1(1，
14、3，1，0) T；令 x30，x 41 得x20，x 1一 1即 2(一 1，0，0，1) T因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T k1(1，3， 1，0) Tk 2(一 1，0，0，1) T而其中满足 x12x 22 的解，即(2k 1 一kx2)2 (13k 1)2那么 2k 1 一 k213k 1 或 2k 1 一 k2一(13k 1)，即 k 212k1 或 k234k 1所以(1，1，0，1) Tk(3，3，1，一 2)T 和(一 1，1，0，3)T k(一 3，3 ，1，4) T 为满足 x12x 22 的所有解【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，
15、有(I)当 a0，且 b3时，方程组有唯一解 ()当 a0 时， b 方程组均无解()当a0，b 3 时，方程组有无穷多解 k(0，3，2) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为系数行列式所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A( 1， 2， 3)，则b，Axb 有解 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示 e1(1，0，0，0) T，e 2(0 ，1，0，0) T，e n(0，0，0，1)T r(1， 1， n)r(e1，e 2，e n) n r(A)n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 b，Ax b 总有解【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 Ax0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i1，t)是 Ax0 的解，所以 j (j1，2，s)是 Ax0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩r(1， 2， t)t，又 1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以r(1， 2， s)r( 1， 2， t)t 又因 1， 2， s 线性无关，故st 因此 1， 2， t 是 Ax0 的基础解系【知识模块】 线性代数
