[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷90及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 90 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，正定矩阵是2 矩阵 A 合同于3 设 ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数5 二次型 xtAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P1 APE（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使

2、 AC TC二、填空题6 已知 A 相似，则 x_，y_7 已知矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，则 a_8 二次型 f(x1，x 2，x 3) (a 1x1a 2x2a 3x3)2 的矩阵是_9 二次型 f(x1，x 2，x 3)x 222x 1x3 的负惯性指数 q_10 若二次型 2x12x 22x 322 122t 23 的秩为 2，则 t_11 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)x 12x 22cx 322ax 1x22x 1x3 经正交变换化为标准形y122y 32 则 a_12 设三元二次型 x12x 225x 322tx 1x22x 1x3+4x2x3 是正定二次型，则

3、t=_.13 已知 A ，矩阵 BAkE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知 A ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由15 已知 A ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量16 已知 A 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使P1 AP17 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，BA 2 一 A 一 2E，求 B的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由18 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值，若1 (1，1，O) T， 2(2

4、 ， 1，1) T， 3(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 6 的特征向量，求矩阵 A19 已知 AB，A 2A，证明 B2B20 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1 2 3 仍是 A 的特征向量，则 1 2 321 求正交变换化二次型 x12x 22x 324x 1x24x 2x34x 1x3 为标准形22 二次型 f(x1，x 2，x 3)5 125 22cx 322x 1x26x 2x36x 1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换23 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA

5、0，证明 A024 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A1 ，A *是正定矩阵25 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)n，证明 ATA 是正定矩阵26 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A2E2 n27 已知 A 是正定矩阵，证明考研数学一（线性代数）模拟试卷 90 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aii0，可排除(A) 、 (D) (B)中 20 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值为1，

6、3，一 2即二次型正惯性指数 p2，负惯性指数 q1故应选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由EA 3 一 32，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A B故应选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 ，特征值不同，但 AB(B)是必要条件由 CTACB，C 可逆 r(A)r(B) ，但不是充分条件例如，虽 r(A)r(B)，但正负惯性指数不同故 A

7、与 B 不合同(C)既不必要也不充分例如 A ，行列式不同但合同，又如 A ， 虽行列式相同但不合同故应选 (D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x1x 2x 3)x 125x 32，虽 q0，但 f不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A与 E 合同，例如 C ，AC TC ，则 x TAx 不正定【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 x=0，y=1【试题解析】 由 AB，知a iib ii 且一 1 是 A

8、的特征值，即【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 -1【试题解析】 由 A 的特征多项式 知矩阵 A 的特征值是 一 1(三重根) ，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a一 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1x 2x 3) a 12x12a 22x22a 32x322a 1a2x1x22a 1a3x1x3a 2a3x2x3，二次型矩阵 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 令(I) 因为 0，故(I) 是坐标变换，那么经此变换二次型化为 fy 222(y 1y 3)(y1y3)2y 12y 22 一 2y32所以负惯性指数q

9、1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 r(f) 2，即 r(A)2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)2A0由【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 ，顺序主子式 11，2 1 一 t20， 3A5t 24t0，所以 t( ，0)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k3，k，k又 B 正定【知识模块】 线性代数三

10、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由特征多项式得到矩阵 A 的特征值12， 2 3一 1由 (2EA)x0 得基础解系 1(5，一 2，9) T，即 2 的特征向量是 k11(k10)由(一 EA)x0 得基础解系 2(1 ，一 1，0)T ，即 一 1的特征向量是 k22(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 A B 一 E，而 r(B)l ，则有EB 3 一 62所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是5，一 1，一 1又行列式A5，因此 A*的特征值

11、是 1，一 5，一 5矩阵 B 属于 6 的特征向量是 1 (1，1，1) T，属于 0 的特征向量是 2(一 1，1，0) T和 3 (一 1， 0，1)T 因此 A。属于 1 的特征向量是 k11(k10)，属于 一 5的特征向量是 k22k 33(k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由特征多项式知矩阵 A 的特征值为1 21， 3一 2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)1而所以 x6当 1 时，由(E A)x0 得基础解系 1( 一 2，1， 0)T， 2(0，0，1) T当 1一 2 时，由(一 2EA)x0得基础解系 3( 一 5，1 ，3)

12、 T那么，令 P( 1， 2， 3)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A0，从而 0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 于是 P1 AP那么p1 A2P 2因此 P1 BPP 1 A2PP1 AP 一 2E 所有以矩阵 B的特征值是 1 20， 3一 2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 r(A) 2 知A0，所以 0 是 A 的另一特征值设矩阵A 属于 0 的特征向量 (x 1，x 2，x 3)1，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 (一1，1，1) T那么 A

13、(1， 2，) (6 1，6 2，0)，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 AB，有 P1 APB，那么 B2P 1 A2PP 1 APB【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A(1 2 3) ( 1 2 3) 又 A(1 2 3)A 1A 2A 3 11 22 33，于是 ( 1)1( 2)2( 3)3 0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 10， 20， 30 即 1A 2 3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 二次型矩阵 ，由特征多项式得特征值为 1 23 3一 3由(3E A)x0

14、 得基础解系 1(一 1，1，0) T， 2(一 1，0，1) T，即 3的特征向量是 1， 2由(一 3EA)x0 得基础解系 3(1，1，1) T对 1， 2经 Schimidt 正变化，有 单位化，得那么，令 xQy ，其中Q( 1， 2， 3)，则有xTAxyTAy3y 123y 22 一 3y32二次型矩阵 A：由二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩 r(A)2，则有 f(x1x 2x 3)x TAxy Ty3y 123y 223y 32【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 二次型矩阵 ，由二次型的轶为 2，即矩阵 A的轶 r(A)2，则由A24(c 3)0 c3 用配方法求规范形

15、和所作变换f(x 1x 2 x3)5x 125x 223x 32 一 2x1x26x 1x36x2x33(x 3x 1 一 x2)2 一3(x1 一 x2)2 5x125x 22 一 2x1x23(x 1 一 x2x 3)22x 122x 224x 1x23(x 1 一x2x 3)22(x 1x 2)2 则 f(x1x 2x 3)y 12y 22，为规范二次型所作变换为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA0，那么令 1(1，0，0，0) T，有类似地，令12 (0，0， ，0，1，0 ，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi ii0 (i1，2，n) 令 1

16、2(1 ，1，0，0) T，则有故12 0类似可知 ij0(i，j1，2，n)所以 A0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 A 正定，所以 ATA那么(A 1 )T(A T)1 A 1 ，即 A1 是实对称矩阵? 设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A1 的特征值是 ，由 A 正定知 i0(il，2，n) 因此 A1 的特征值 (i1，2，n)从而1 正定A *AA 1 ，A0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于 0从而 A*正定【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由(A TA)TA T(AT)TA TA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)n，0，恒有 A0从而 T(ATA)(A) T(A)A 20故 ATA 正定【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值I0(i1，2，n) 又 A2E 的特征值是 12， 22， n2，所以 A2E ( 12)( 22)( 32)2 n【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 CC 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 则AB由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 线性代数