1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 91 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3 （D）r(A)=42 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)
2、与矩阵 B=(1， 2， m)等价3 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)4 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1， 1+2为 ( )（A）m+n（B） m 一 n（C）一 (m+n)（D）n 一 m5 设 A，B，A+B，A 1 +B1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B1 )1 等于( )（A）A+B（B） A1 +B1（C） A(A+B)1 B（D）(A+B
3、) 16 设 1， 2， ， M 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价7 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只
4、有零解二、填空题8 设 f(x)= ，则 x2 项的系数为_9 设 A= ，则(A+3E) 1 (A2 一 9E)=_10 设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T，其中 a0，又A=E T，B=E T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= ， 2 3= ，则方程组 AX=b 的通解为_12 设 AB，其中 ，则 x=_，y=_13 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=AE 证明：A=A *15
5、 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立16 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系16 设 17 若 aiaj(ij)，求 ATX=b 的解；18 若 a1=a3=a0，a 2=a4=a，求 ATX=b 的通解19 设 A= ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵20 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， ，求 A20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)
6、=XTAX，tr(A)=1，又 B= 且 AB=O21 求正交矩阵 Q，使得在正交变换 X=QY 下二次型化为标准形22 求矩阵 A23 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=T23 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关24 证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；25 设 ，求出可由两组向量同时线性表示的向量26 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)27 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 A 及 An27 设方程组 为矩阵 A 的分别属于特征值 1=
7、1， 2=一 2， 3=一 l 的特征向量28 求 A；29 求A *+3E30 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 91 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P
8、可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2= 3 ， 2 ， 1 ， 1+ 3 ， 2 ， 1 ， 2 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 1+ 1 ， 2 ， 2 ， 3=n 一 m， 选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) 1 B(A1 +B1 )=(A+B)A1 1 (BA1 +E)=(BA1 +E)1 (BA1 +E)=E，所以选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1，
9、2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r，也可由1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性代数二
10、、填空题8 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) 1 (A2 一 9E)=(A+3E)1 (A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E= 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 -1【试题解析】 由 AB=(E T)(E T)=E+ T 一 T 一 2aT=E 且TO，得 一 12a=0，解得 a=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程
11、组 AX=b 的通解为 K+，其中 =3 一1=(2+3)一【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 x=3，y=1【试题解析】 因为 AB 所以 ，解得 x=3，y=1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 线性代数15 【正确
12、答案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(1， 1)=0，而( 1， 1)= 1 20，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0，故 1， ， n 线性无关，令 ，显然 1， 2 线性无关，但 1， 2 不正交【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方法一 AX=0 x11+x22+x33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此 方法二由 r(A)=2 可知 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 31+22 一 3=0，因此 = 为 AX=0的一个基础解系【知识
13、模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 D=A T=(a 4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)， 若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时， ，方程组通解为 X=k1(一a2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 1=
14、2=2 及 1+2+3=tr(A)=10 得 3=6因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1 ，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 AB=O 得 为 =0 的两个线性无关的特征向量，从而 =0 为至少二重特征值，又由 tr(A)=1 得 3=1，即 1=2=0， 3=1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 QTAQ= 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令 ，故 A=T，显然 ， 为非零向量，设 A=T，其中 ， 为非零
15、向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=一 l11l22 令=k11+k22=一 l11 一 l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及l1，l 2 都不全为零，所以 0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 k11+k22+l11+l22=0， 所以 =k13k2=一 k1+02【知识模块】
16、 线性代数26 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)，所以r(AB)minr(A)，r(B) 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由E A= =0，得 1=2=1， 3=2EA= ，因为矩阵A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以 D= =a2 一 2a+1=0，解得a=1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A=2，A *对应的特征值为 ，即 2，一 1，一 2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *+3E=10 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)= PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
