1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 92 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2B2=(A+B)(AB)（D）A=02 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关3 设 A，
2、B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同4 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (AB)*=A*一 B*（D）(A+B) *一定可逆5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示6 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3
3、，令P=(32，一 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )二、填空题7 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_8 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要条件是 _9 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A1 BA=6ABA，且 A= ，则 B=_10 设方程组 无解，则 a=_11 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A 为 n
4、阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=O证明：r(4E A)+r(2E+A)=n13 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E。证明：B 的列向量组线性无关14 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解14 设 A= 有三个线性无关的特征向量15 求 a；16 求 A 的特征向量；17 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵18 设 的逆矩阵 A1 的特征向量，求 x，y，并求 A1 对应的特征值 18 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主
5、对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= 19 求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；20 求矩阵 A21 设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=022 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明：存在常数 k，使得(A *)2=kA*23 设向量组(I) 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 5，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组() 的秩为 4证明：向量组 1， 2， 3， 5 一 4的秩为 423 设(I) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1=24 求方程组() 的基础解系；2
6、5 求方程组()BX=0 的基础解系；26 ( )与()是否有公共的非零解 ?若有公共解求出其公共解27 证明：r(A)=r(A TA)27 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T28 求 A 的其他特征值与特征向量；29 求 A30 设 ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得 PtAP=B31 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 92 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=O
7、，所以，r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以r(B)1，从而 r(A)n ，于是 A=0 ，选(D) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正、负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答
8、案】 B【试题解析】 因为(AB) *=AB(AB)1 =A BB 1 A1 =BB 1 AA 1 =B*A*，所以选(B) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32， 3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以P1 AP= ，选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(
9、a 一 1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(AB)=A2+BA 一 AB 一 B2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由 A1 BA=6A+BA，得 A1 B=6E+B，于是(A 1 一 E)B=6E，B=6(A 1 E) 1 = 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为 =0 地 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为
10、【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 A2 一 2A 一 8E=O 得(4EA)(2EA)=O，根据矩阵秩的性质得r(4EA)+r(2E+A)n，又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有r(4E 一 A)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又
11、2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31 一 3 一 5， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)T， 2=(2，0， 1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一1)T+K2(2，0，1，一 1，6) T(K1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由E 一 A= =(+2)( 一 1)2=0 得矩阵 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特
12、征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E 一 A)=1，由 EA= 得 a=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 将 =一 2 代入(EA)X=0，即(2E+A)X=0，由 2E+A= 得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得 0=4，X=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于
13、2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 QTAQ= 得 A= 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得A 2=1，因为A0，所以A=1，由E A=A TA+A=(A TE)A=AA T+E=一A T+E=(A+E) T=一E+A得E+A=0 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(A)=n1，所以 r(A*)=1，于是 A*= (b1 bn)，【知识模块】 线性代数23 【正
14、确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 一 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 一 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组()的基础解系为 ；【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有
15、两个线性无关的解向量， 4 1= ， 2 32 1= 为方程组( )的基础解系；【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22= ，令 ，取 k2=k，则方程组()与方程组 ()的公共解为 k(1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可若 AX0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0 =0，所以 AX=0 与 ATAX=0为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 A
16、 的每行元素之和为 5，所以有 3218，即 A 有特征值2=5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵 对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
