1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 95 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2 1AP1（D）B=P 11 AP212 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关3 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AX=b
2、 一定有唯一解（C）若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解4 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） A（D）A n15 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m O)6 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )二、填空题7 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ，
3、 1， 2 是三维列向量，且A=3，B =4，则5A 一 2B=_8 设 A 为四阶矩阵，A *=8，则( A)1 一 3A*=_ 9 ，则 P12009P21 =_10 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _11 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设 ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量
4、，且与向量 正交，证明：向量 为零向量14 设 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?(2)a，b为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?14 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T15 求方程组 AX=0 的通解；16 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量17 设 = ，A= T，求6EA n18 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x318 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵)19
5、求：二次型 XTAX 的标准形；20 E+A+A 2+An的值21 计算 (ai0，i=1 ，2，n)22 设 1， 2， ， t 为 Ax=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关23 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 AX=0 的通解24 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解?有解时求出全部解24 设 A= 相似于对角阵求：25 a 及可逆阵 P，使得 P 1AP=A，其中 A 为对角阵；26 A10027 ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B；28
6、设齐次线性方程组 有非零解，且 A= 为正定矩阵，求 a，并求当X =时 XTAX 的最大值考研数学一（线性代数）模拟试卷 95 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B= =P1AP21 ，因为 P11 =P1，所以应选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量
7、线性表示，故选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则 ，即方程组 AX=b 一定有解，选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有 A*X=X，选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)= 3111=mn ，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化
8、，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A-2=(5，5 1，5 2)一(2，2 1，2 2)=(5一 2，3 1，3 2)，得5A-2B=5 一 2，3 1，3 2=9 5 一 2， 1， 2=9(5 ， 1， 2一2， 1， 2)=63【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A*=A 3=8，于是A=2，又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A1 ，故( A)1 一3A*=4A 1 6A 1 =(一 2)A1
9、=(一 2)4A 1 =16 =8【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23，因为 Eij1 =Eij，所以 Eij2=E，于是P12009P21 =P1P21 = 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2=一 123+34【试题解析】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解，所以 1+2+2334=0，故2=一 123+34【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 令 1= ， 3=3，正交规范化的向量组为 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 ,【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)= ，则向量组 1， 2， 3， 4 的一个
10、极大线性无关组为 1， 2，且 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 方法一 令 A= ，因为 1， 2， n 与 正交，所以 A=0，即 为方程组 AX=0 的解，而 1， 2， N 线性无关，所以 r(A)=n，从而方程组 AX=0 只有零解，即 =0方法二( 反证法)不妨设 0，令k11+k22+knn+k0=0，上式两边左乘 T 得 k1T1+k2T2+knTn+k0T=0 因为 1， 2， ， n 与 正交，所以 k0T=0，即 k0 2=0，从而 k0=0，于是k11+k22+knn=0，再由 1， 2， n 线性无关，得 k1
11、=k2=kn=0，故1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)当 a=1，b0 时，因为 r(A)=2r( )=3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合；(2)当 a1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 则方程组 AX=0 的通解为k11+k22+kn1 n1 (k1，k 2，k n1
12、 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 A2=kA，其中 k=(，)= ai20，所以 A 的非零特征值为k，因为 A=T=K，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 方法一 由 An=(T)( T)=2n1 ，得6EA n=6 2(62n)方法二 A=T，由 EA= 2( 一 2)=0 得 1=2=0， 3=2，因为 6E 一 An的特征值为 6，6，62 n，所以6E 一 A=6 2(62n)方法三 因为 A 是实对称矩阵且 1=2=0， 3=2，所以存在可逆阵 P，使得P1 AP= =62(62 n)AP 1 AnP
13、，则6EA n= 6E P1AnP=6 2(62n)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一5x32+2x1x2 2x1x3+2x2x3=(x1+x2 一 x3)2+(x2+2x3)2 10x32，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A2=A，所以AE A=0，即 A 的特征值为 0 或者1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n 一 r 重) ，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+
14、yr2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r重)，故 E+A+A2+An=B=(n+1) r【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关，令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关， ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 K9 时，
15、因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1,3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 (C 为任意常数)；当 r(A)=1 时， A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由 A (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于 则 X=(X1， X2，X 3)= ，其中 k1， k2，k 3 为任意常数【
16、知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 E 一 A=0 1=2=1， 3=一 1因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)= (E-A)X=0 基础解系为 1=(0，1，0) T， 2=(1，0，1) T，(一 EA)X=0 基础解系为 3=(1，2，一 1)T，令 P=(1， 2， 3)，则 P1 AP=diag(1，1，一1)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 P 1 A100P=E A100=PP1 =E【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由E 一 B=0，得 1=一 1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2由
17、 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由A=b= 123=一 2，得 b=一 2，即 A= 由(一 EA)X=0，得1=(1，1，0) T；由(EA)X=0，得 2=(一 2，1，1) T；由(2E-A)X=0 ，得 3=(一2，1，0) T，令 由(-E-B)X=0 ，得 1=(一 1，0，1) T；由(E 一 B)X=0，得2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得 3=(8，3，4) T，令 由 P11 AP1=P21 BP2，得(P 1P21 )1 AP1P21 =B，令 P=P1P21 = ，则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以
18、 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i=1 ， 2，3)，所以 a=3，当 a=3 时，由E 一 A = =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当X = 时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=X 2=2 所以当X = 时，XTAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 线性代数
