[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷96及答案与解析.doc

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1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 96 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵,B 是四阶矩阵,且A=2,B=6,则 为( )(A)24(B)一 24(C) 48(D)482 设 n 维行向量 = ,A=E T,B=E2 T,则 AB 为( )(A)O(B) E(C) E(D)E+ T3 设 A 为 n 阶矩阵,且A=0,则 A( )(A)必有一列元素全为零(B)必有两行元素对应成比例(C)必有一列是其余列向量的线性组合(D)任一列都是其余列向量的线性组合4 设 1, 2, 3, 4 为四维非零列向量组,令 A=(1, 2, 3, 4),

2、AX=0 的通解为X=k(0,一 1,3,0) T,则 A*X=0 的基础解系为( )(A) 1, 3(B) 2, 3, 4(C) 1, 2, 4(D) 3, 45 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=0, 3=1,则下列结论不正确的是( ) (A)矩阵 A 不可逆(B)矩阵 A 的迹为零(C)特征值一 1,1 对应的特征向量正交(D)方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 设 ,则 m,n 可取( )(A)m=3 , n=2(B) m=3,n=5(C) m=2,n=3(D)m=2 , n=27 若向量组 1, 2, 3, 4 线性相关,且向量 4 不可由向量组 1, 2

3、, 3 线性表示,则下列结论正确的是( ) (A) 1, 2, 3 线性无关(B) 1, 2, 3 线性相关(C) 1, 2, 4 线性无关(D) 1, 2, 4 线性相关8 设 A 为 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等(B)若 AB ,则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵(C)若 r(A)=rn,则 A 经过有限次初等行变换可化为(D)若矩阵 A 可对角化,则 A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题9 若矩阵 A= ,B 是三阶非零矩阵,满足 AB=0,则 t=_10 设向量组 1, 2, 3 线性无关,且 1+a2+43, 2

4、1+2 一 3, 2+3 线性相关,则 a=_11 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2,则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A2=A,B 2=B,(A+B) 2=A+B证明:AB=O13 设三维向量空间的两组基 ,向量 在基 1, 2, 3 下的坐标为 ,求 在基 1, 2, 3 下的坐标14 设 A= ,且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量,求 AX=0 的通解15 设 A 为三阶矩阵,A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=3,其对应的线性无关的特征向量分别为 ,求 An15 设

5、A,B 为 n 阶矩阵16 是否有 ABBA;17 若 A 有特征值 1,2,n,证明:ABBA17 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵,f(x 1,x 2,x n)= xixj18 记 X=(x1,x 2,x n)T,把二次型 f(x1,x 2,x n)写成矩阵形式;19 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1,x 2,x n)合同?20 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型,求 t 的范围21 设 D= ,求 Ak1+Ak2+Akn22 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维向量,证明: 1, 2, n 线性无关的

6、充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1, 2, n 线性表示23 a,b 取何值时,方程组 有解?24 当 a,b 取何值时,方程组 无解、有唯一解、有无数个解? 在有无数个解时求其通解24 设 ,方程组 AX= 有解但不唯一25 求 A;26 求可逆矩阵 P,使得 P1 AP 为对角阵;27 求正交阵 Q,使得 QTAQ 为对角阵28 设 A= ,求 A 的特征值与特征向量,判断矩阵 A 是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵 P 及对角阵29 设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为正定矩阵考研数学一(线性代数)模拟试卷 96 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项

7、中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 =48,选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ,得 AB=(E T)(E+2T)=E,选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=0,所以 r(A)n,从而 A 的 n 个列向量线性相关,于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示,选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量,所以 r(A)=3,于是 r(A*)=1,因为 A*A=AE=O,所以, 1, 2, 3, 4 为 A*X=0 的一

8、组解,又因为一 2+33=0,所以 2, 3 线性相关,从而 1, 2, 4 线性无关,即为A*X=0 的一个基础解系,应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1, 2=0, 3=1 得A=0,则 r(A)3,即 A 不可逆,(A)正确;又 1+2+3=tr(A)=0,所以(B)正确;因为 A 的三个特征值都为单值,所以A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等,即 r(A)=2,从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,(D)是正确的;(C) 不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质,选(C)【知识模块】

9、 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n= 经过了 A 的第 1,2 两行对调与第 1,3 两列对调,P1= =E13,且 Eij2=E,P 1mAP2=P1AP2,则 m=3,n=5 ,即选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 若 1, 2, 3 线性无关,因为 4 不可由 1, 2, 3 线性表示,所以1, 2, 3, 4 线性无关,矛盾,故 1, 2, 3 线性相关,选(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对,如 A= ,A 的两个特征值都是 0,但 r(A)=1;(B)不对,因为 AB 不一定保证 A,B 可

10、以对角化;【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3,因为 r(B)1,所以 r(A)2又因为矩阵A 有两行不成比例,所以 r(A)2,于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43,2 1+2 一 3, 2+3)=(1, 2, 3) ,因为1, 2, 3 线性无关,而 1+a2+43,2 1+2 一 3, 2+3 线性相关,所以=0,解得 a=5【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A= ,因为该二次型的秩为 2,所以A=0,解得 a= 【知识模块

11、】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 A2=A,B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=一 BA,AB= 一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA,再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA,则 AB=BA,于是 AB=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方法一 方法二 令 =x11+x22+x33,解得 x1=2,x 2=一2,x 3=1,则 An=2An1 一 2An2+An3= 【知识

12、模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一般情况下,AB 与 BA 不相似,如 因为 r(AB)r(BA),所以AB 与 BA 不相似【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为A=n!0,所以 A 为可逆矩阵,取 P=A,则有p1 ABP=BA,故 ABBA【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 f(X)=(x 1,x 2,x n) ,因为 r(A)=n,所以A0,于是A*=A1 ,显然 A*,A 1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A 可逆,所以 A 的 n 个特征值都不是零,而 A 与 A1 合同,故二次型 f(x

13、1,x 2,x n)与 g(X)=XtAX 规范合同【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A=(一 1)n1 n!, 得 A*=AA 1 =(一 1)n1 n!A 1 ,所以 Ak1A k2+Akn= 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 1, 2, n 线性无关,对任意的 n 维向量 ,因为1, 2, n, 一定线性相关,所以 可由 1, 2, n 唯一线性表示,即任一 n 维向量总可由 1, 2, n 线性表示反之,设任一 n 维向量总可由1, 2, n 线性表示,取 ,则 e1,e 2,e n 可由 1, 2, n 线性表示,故 1,

14、 2, n 的秩不小于 e1,e 2,e n 的秩,而 e1,e 2,e n 线性无关,所以 1, 2, n 的秩一定为 n,即 1, 2, n 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (3)a=1,b=1 时,通解为 X=k1(1,2,1,0) T+k2(1,一2,0,1) T+(一 1,1,0,0) T(k1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)当 a1 且 a6 时,方程组有唯一解; (2)当 a=6 时,当 a=一 1,b36 时,方程组无解;当 a=一 1,b=36 时,方程组有无数个解,【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正

15、确答案】 因为方程组 AX= 有解但不唯一,所以 A=0,从而 a=一 2 或a=1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由E 一 A=(+3)( 一 3)=0 得 1=0, 2=3, 3=一 3由(0E-A)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= ;由(3E-A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= ;由(一 3E-A)X=0 得 3=一 3 对应的线性无关的特征向量为 3= 令【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 EA= =(+A 一 1)(a)(a 一 1)=0,得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a, 2=

16、a, 3=1+a(1) 当 1-aa,1 一 a1+a,a1 a,即 a0 且 a时,因为矩阵 A 有三个不同的特征值,所以 A 一定可以对角化 (2)当a=0 时, 1=3=1,因为 r(EA)=2,所以方程组(E 一 A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX,因为 A 是实对称矩阵,所以存在正交变换 X=QY,使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2,其中i0(i=1,2,n),对任意的 X0,因为 X=QY,所以 Y=QTX0,于是f=1y12+2y22+ nyn20,即对任意的 X0 有 XTAX0,所以 XTAX 为正定二次型,故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数

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