1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 96 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 为( )（A）24（B）一 24（C） 48（D）482 设 n 维行向量 = ，A=E T，B=E2 T，则 AB 为( )（A）O（B） E（C） E（D）E+ T3 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合4 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，
2、AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 45 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是( ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 设 ，则 m，n 可取( )（A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=27 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2
3、， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关8 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题9 若矩阵 A= ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=0，则 t=_10 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 2
4、1+2 一 3， 2+3 线性相关，则 a=_11 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O13 设三维向量空间的两组基 ，向量 在基 1， 2， 3 下的坐标为 ，求 在基 1， 2， 3 下的坐标14 设 A= ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求 AX=0 的通解15 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，求 An15 设
5、A，B 为 n 阶矩阵16 是否有 ABBA；17 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA17 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)= xixj18 记 X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；19 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围21 设 D= ，求 Ak1+Ak2+Akn22 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的
6、充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示23 a，b 取何值时，方程组 有解?24 当 a，b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解? 在有无数个解时求其通解24 设 ，方程组 AX= 有解但不唯一25 求 A；26 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵；27 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵28 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵29 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 96 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
7、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 =48，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(E T)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1，因为 A*A=AE=O，所以， 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一
8、组解，又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为A*X=0 的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0， 3=1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模块】
9、 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n= 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P1= =E13，且 Eij2=E，P 1mAP2=P1AP2，则 m=3，n=5 ，即选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可
10、以对角化；【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3，因为 r(B)1，所以 r(A)2又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3)=(1， 2， 3) ，因为1， 2， 3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3 线性相关，所以=0，解得 a=5【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a= 【知识模块
11、】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=一 BA，AB= 一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方法一 方法二 令 =x11+x22+x33，解得 x1=2，x 2=一2，x 3=1，则 An=2An1 一 2An2+An3= 【知识
12、模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 因为 r(AB)r(BA)，所以AB 与 BA 不相似【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为A=n！0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有p1 ABP=BA，故 ABBA【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 f(X)=(x 1，x 2，x n) ，因为 r(A)=n，所以A0，于是A*=A1 ，显然 A*，A 1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A1 合同，故二次型 f(x
13、1，x 2，x n)与 g(X)=XtAX 规范合同【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A=(一 1)n1 n！， 得 A*=AA 1 =(一 1)n1 n！A 1 ，所以 Ak1A k2+Akn= 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 ，则 e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1，
14、 2， n 的秩不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (3)a=1，b=1 时，通解为 X=k1(1，2，1，0) T+k2(1，一2，0，1) T+(一 1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)当 a1 且 a6 时，方程组有唯一解； (2)当 a=6 时，当 a=一 1，b36 时，方程组无解；当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正
15、确答案】 因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以 A=0，从而 a=一 2 或a=1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由E 一 A=(+3)( 一 3)=0 得 1=0， 2=3， 3=一 3由(0E-A)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= ；由(3E-A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= ；由(一 3E-A)X=0 得 3=一 3 对应的线性无关的特征向量为 3= 令【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 EA= =(+A 一 1)(a)(a 一 1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a， 2=
16、a， 3=1+a(1) 当 1-aa，1 一 a1+a，a1 a，即 a0 且 a时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 (2)当a=0 时， 1=3=1，因为 r(EA)=2，所以方程组(E 一 A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
