1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ，那么矩阵 A 的三个特征值是( )（A）1，0，-2（B） 1，1，-3（C） 3，0，-2（D）2，0，-32 已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）A-E（B） 2A-E（C） A+2E（D）A-4E3 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T（B） A2（C） A-1（D）A-E4 已知 =(1， -2，3) T 是矩阵
2、 A= 的特征向量，则( )（A）a=-2，b=6 （B） a=2，b=-6（C） a=2，b=6（D）a=-2，b=-65 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P-1AP (3)AT (4) 肯定是其特征向量的矩阵共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（
3、D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A-2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（A）（B） A+2（C） A2-A（D）A 2+2A-38 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若P=(1，2 3，- 2)，则 P-1AP=( )二、填空题9 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为-2，1，1，且 B 与 A 相似，则2B=_10 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1-E=_11
4、设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P=(33， 1，2 2)，则 P-1AP=_12 已知 A 有一个特征值-2，则 B=A2+2E 必有一个特征值是_13 设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A 的一个特征值，则 2A2-3A+5E 必定有特征值_14 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_15 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_16 矩阵 A= 的三个特征值分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=3=
5、1，对应于 1 的特征向量为 1=，求 A18 设矩阵 A= ，其行列式A=-1，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 =(-1，-1， 1)T 求 a，b，c 和 0 的值19 设矩阵 A= ，B=P -1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵20 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1=6， 2=3=3，与特征值 1=6 对应的特征向量为1=(1，1，1) T，求 A21 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=2， 2=-2， 3=1；对应的特征向量依次为求 A22 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1=1
6、， 2=-1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为p1= ，求 A22 设 a=(a1，a 2，a n)T，a 10，A=aa T，23 证明 =0 是 A 的 n-1 重特征值；24 求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量25 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A25 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3326 求矩阵 A 的特征值；27 求可逆矩阵 P 使得 P-1AP=A考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1
7、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据特征值的性质： i=aij 现在a ii=1+(-3)+1=-1，故可排除选项C 显然，矩阵 A 中第 2、3 两列成比例，易知行列式A=0，故 =0 必是 A 的特征值，因此可排除选项 B 对于选项 A 和选项 D，可以用特殊值法，由于说明 =1 不是 A 矩阵的特征值故可排除选项 A所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1、-1、2、4，所以A *=-8，又因为A *=A n-1，即 A 3=-8，于是A=-2 那
8、么，矩阵 A 的特征值是：-2，2，-1 ， 因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， ，因为特征值非 0，故矩阵AE 可逆 同理可知矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由于E-A T=(E-A) T= E-A，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值 由 A=，0 可得到： A 2=2，A -1=-1， (A-E)=(-1)， 说明 A2、A -1、A-E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征
9、值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有所以 =-4，a=-2，b=6，故应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A()=Aa=2，0， 即 必是 A2 属于特征值 2 的特征向量关于(2)和(3)则不一定成立这是因为 (P -1AP)(P-1)=P-1A=P-1， 按定义，矩阵 P-1AP，的特征向量是 P-1 因为 P-1 与 不一定共线，因此 不一定是 P-1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的 线性方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所
10、以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量由于(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量例如 上例还说明当矩阵 A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2-3A=0故 (A+3E)(A 2-A)=0=
11、0(A2-A)， 因为，A，A 2 线性无关，那么必有 A2-A0，所以 A2-A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A(-2)=3(-2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A属于特征值 =-2 的特征向量 当 P-1AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成，A 由A 的特征值所构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值
12、是1，3，-2 ，故对角矩阵 A 应当由 1，3，-2 构成，因此排除选项 B、C 由于 23是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角矩阵 A 中应当是第 2 列，所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 -16【试题解析】 因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 3【试题解析】 根据已知条件 A 的特征值为 1，2， 2，A -1 的特征值为 ，因此进一步可得 4A-1-E 的特征值为 3，1，1，所以4A -1-E=311=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11
13、 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 6【试题解析】 因为 =-2 是 A 的特征值，所以根据特征值的性质， 2+2=(-2)2+2=6是 B=A2+2E 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 7【试题解析】 如果 是 A 的一个特征值， 是对应于 A 的一个特征向量，则A=，因此有 A 2=A()=A=2 因此可知 (2A2-3A+5E)=2A2-3A+5=(22-3+5)， 所以 222-32+5=7 一定是 2A2-3A+5E 的一个特
14、征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 根据矩阵 A 的特征多项式可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1 又因为A= i，可得A=7因为如果 A=，则有 A*=，因此 A*的特征值是 1，7，7【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 【试题解析】 E-A = 所以 A 的特征值为 1=2， 2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 假设对应于 2=3=
15、1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，根据题设，A 为实对称矩阵，因此 T1=0，即 x2+x3=0，解得 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，-1) T 又由 A(1， 2， 3)=(11， 22， 33)，故有 A=( 11， 22， 33)(1， 2， 3)-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 根据题设有 A*=，又 AA*=A E=-E ，于是AA*=A0=0A=0A 即 由此可得解此方程组 0=1，b=-3，a=c 又由A =-1，可得故 a=c=2，因此 a=2，b=-3 ，c=2 ， 0=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】
16、 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=由于A=70 ，所以 0又因 A*A=AE，故有 A*= 于是有故 A 的特征值为1=2=1， 3=7 当 1=2=1 时，对应线性无关的两个特征向量可取为 1=当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为 3= 由 P-1=因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1P-11+k2P-12=k1，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P-13=k3 ，其中 k3 是不为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 因 A 是对称阵，必存在
17、正交阵 Q，使即 A=QAQT 令 Q=(1， 2， 3)，则特征值 1=6对应的单位特征向量为 而 A-3E=Q(A-3E)QT，则 A=Q(A-3E)QT+3E=(1， 2， 3) (1， 2， 3)T+3E=3(1，0，0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 因为 A 的特征值互异，故 p1，p 2，p 3 线性无关，令P=(p1，p 2，p 3)，P 是可逆矩阵，则 从而 A=PAP1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 因为 A 为对称阵，故必存在正交阵 Q=(q1，q 2，q 3)，使由题意，可得 1、 2 的特征向量由正交矩阵的性质，q 3
18、可取为 的单位解向量，则由【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 A 为对称阵，故 A 与对角阵 A=diag(1， 2， n)相似，其中1， 2， n 是 A 的全部特征值 因为 A=T 且 a10，所以 r(A)=1，从而 r(A)=1，于是 A 只有一个非零对角元，即 =0 是 A 的 n-1 重特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 设 1=T， 2= n=0 因为 A=T=(T)=1，所以 p1=是对应于 1=T 的特征向量对于 2= n=0，解方程 Ax=0，即 Tx=0 已知0，因此 Tx=0，即 a1x1
19、+a2x2+anxn=0，所以其余(n-1) 个线性无关特征向量为 p2=(-a2，a 1，0，0) T， p 3=(-a3，0，a 1，,，0) T， p n=(-an，0，0，a 1)T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 A 的特征多项式为：则 A 的特征值为 1=2n-1， 2=n-1，其中 n-1 为重根 当 1=2n-1 时，解齐次方程组( 1E-A)x=0，对系数作初等变换，有得到基础解系1=(1， 1， ，1) T 当 2=n-1 时，齐次方程组( 2E-A)x=0 等价于 x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(-1，1，0，0) T， 3=(-1，0，1
20、，0) T， n=(-1，0，0，1) T则 A 的特征向量是：k 11 和 k22+k33+knn【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由已知可得 A(1， 2， 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)=(1， 2， 3) 记 P1=(1， 2， 3)，B= ，则有 AP1=P1B由于1， 2， 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 =B，因此矩阵 A 与 B 相似，则矩阵 B 的特征值是 1，1，4，由相似矩阵的性质，故矩阵 A 的特征值为 1，1， 4.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由(E-B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量3=(0，1，1) T 即当 P=P1P2=(1， 2， 3) =(-1+2，-2 1+3， 2+3)时，P -1AP=A=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
