1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 P-1AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A） 1，- 2， 3（B） 1， 2+3， 2-23（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1-2， 32 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） -1A （B） -1A（C） A（D）A n3 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )
2、（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都有可能4 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于( )5 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩 r(A)=0（B）秩 r(A)=1（C）秩 r(A)=2（D）条件不足，不能确定6 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似7 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征
3、值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题8 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2 ，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=(1，2，1) T， 2=(1，-1，1) T，则特征值 2 对应的特征向量是_9 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则 A的非零特征值为_10 设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，则矩阵 必有一个特征值为_11 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特
4、征值为_12 设 =(1， -1，a) T 是 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(A*)=3，则 a=_13 已知矩阵 A= 的特征值的和为 3，特征值的乘积是 -24，则b=_14 设 A= 有二重特征根，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设矩阵 A 与 B 相似，且 A= 求可逆矩阵 P，使P-1AP=B16 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第一列为，求 a，Q17 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A4+2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)18 设 A 是 3
5、 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且 A1=1-2+3，A 2=41-32+53，A 3=0求矩阵 A 的特征值和特征向量19 设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T，x 与 y 都是 n1 矩阵，且 yTx=2，求 A 的特征值、特征向量20 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化21 已知 A= ，求可逆矩阵 P，化 A 为标准形 A，并写出对角矩阵 A22 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= 求 a，b 的值及矩阵 P，使 P-1AP=B23 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量24 已
6、知 A 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵，使 P-1AP=A25 设矩阵 A= 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求 a，b 的值26 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T，= 3(-1，2，-3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=PA即(A1，
7、A 2，A 3)=(a11，a 22，a 33)可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3 线性无关 若 是属于特征值 A 的特征向量，则- 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 2+3，仍是属于特征值 的特征向量本题中，2， 3 是属于 =5的线性无关的特征向量，故 2+3， 2-23 仍是 =5的特征向量，并且 2+3， 2-23 线性无关，故选项 B 正确 对于选项 C，因为 2， 3 均是 =5的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确故选项 C 正确 由于 1， 2
8、是不同特征值的特征向量，因此 1+， 1-2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 错误所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=x 上式两边左乘 A*，并考虑到 A *A=A E， 得 A *Ax=A*(x)， 即 Ax=A *x，从而 可见 A*有特征值 所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的重数r(A 33)=1，即 r(0E-A)=1，(0E-A)x=0 必有两个线性无关特征向量故
9、=0的重数2至少是二重特征值，也可能是三重例如 A= ，r(A)=1，但 =0是三重特征值所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)-1 的特征值因此 的特征值为 所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的所以应选D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确 相
10、似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确 综上可知选项 D 正确事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1AP=B 于是 P -1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B 可见对任意常数 t，矩阵tE-A 与 tE-B 相似所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 B【试题解析】 由 A-B，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 E-B= E-P -1AP=P -1(E-A)P =P -1E-AP=E-A
11、 即 A 与 B 有相同的特征值 但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似，例如虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于 r(A)r(B)，A，B 不可能相似 所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值所以应选B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题8 【正确答案】 t(-1 ，0， 1)T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 所以可知 x1=-t，x 2=0，x 3=t 所以对应于特征值 2 的特征向量是 t(-1，0，1) T，t0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9
12、【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A( 1， 2)=(A1，A 2)=(0，2 1+2)=(1， 2)记 P=(1， 2)，因 1， 2 线性无关，故 P=(1， 2)是可逆矩阵因此，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值因为 所以 =0，=1故 A 的非零特征值为 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵特征值的特点，A 有特征值 -3，所以有特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以 T=(T)=2，故 T 的非零特征值为 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】
13、-1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=A= 0A，即展开成方程组的形式为 因为 r(A*)=3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 -3【试题解析】 已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此a+3+(-1)=t=3，所以 a=1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 所以 b=-3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 【试题解析】 =(-2)(2-2-2(a-2)=0如果 =2是二
14、重根，则有 =2的时候， 2-2-2(a-2)的值为 0，可得 a 的值为 2如果 2-2-2(a-2)=0是完全平方，则有(-1) 2=0，满足 =1是一个二重根，此时-2(a-2)=1，即 a=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 A-B，则有， 于是得 a=5，b=6 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3=6 当=2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1=(1，-1，0)T， 2=(1，0，1) T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量 当 =6
15、 时，解齐次线性方程组(6E-A)x=0，得到基础解系是(1，-2，3) T，即属于 =6 的特征向量那么，令 P=(1， 2， 3)= ，则有 P-1AP=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 知矩阵 A 的特征值是：2，5，-4 对 =5，由(5E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换得出基础解系 2=(1，-1，1) T 对 =-4，由(-4E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换 得基础解系 3=(-1，0，1) T 因为 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2， 3 有
16、 那么令 Q=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 An=n 那么用 右乘 A4+2A3+A2+2A=0，得( 4+23+2+2)=0 因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(3+22+2)=(+2)(2+1)=0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或-2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，-2，-2因 AA ，则有A+EA+E= ，所以 r(A+E)=r(A+E)=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案
17、】 由 A3=0=03，知 A=0 是 A 的特征值， 3 是 =0 的特征向量 由已知条件有 A( 1， 2， 3)=(1-2+33，4 1-32+53，0)，记 P=(1， 2， 3)，由 1， 2， 3 线性无关，故矩阵 P可逆，因此有 P-1AP=B，其中 B= ，因此 AB 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B 的特征多项式所以矩阵 B，也即 A 的特征值为-1 ，-1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B 对应于特征值 =-1 的特征向量是 =(-2，1，1) T，若 B=，则有(P -1AP)=，即 A(P)=(=)，那么矩阵 A 关于特征值 =-1 的特征向量是因此 k1(-21
18、+2+3)，k 33 分别是矩阵 A 关于特征值 =-1 和 =0 的特征向量(k 1，k 20)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 令 B=xyT= (y1，y 2，y n)，则 B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见 B 的特征值只能是 0 或 2 因为则 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=0 的基础解系由 n-1 个向量组成，且基础解系是： 1=(-y2，y 1，0，0) T， 2=(-y3，0，y 1，0) T， n-1=(-yn，0，0，y 1)T这正是 B 的关于 =0 也是 A关于 =1 的 n-1 个线性无关的特征向量由于 B2=
19、2B，对 B 按列分块，记B=(1， 2， n)，则 B(1， 2， n)=2(1， 2， n)，即 Bi=2i，可见n=(x1， x2， ，x n)T 是 B 关于 =2，也就是 A 关于 =3 的特征向量 那么 A 的特征值是 1(n-1 重)和 3，特征向量分别是 k 11+k22+kn-1n-1，k nn，其中k1，k 2，k n-1 不全为 0，k n0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为如果 =2 是单根，则 2-8+18+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 a= 则矩阵 A 的特征值是2，4，4，而 r(4E-A)=r =2
20、，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化 如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代人 2-8+18+3a=0，则有 18+3a=12，即 a=-2 于是 2-8+18-3a=(-2)(-6)则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r(2EA)=r =1，故 =2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 先求 A 的特征值、特征向量矩阵 A 的特征多项式于是 A 的特征值是-1(二重)，0 对 =-1，解齐次方程组(-E-A)x=0，由系数矩阵 得特征向量 1=(-2，1，0) T， 2=(1，0，1) T
21、对 =0，解方程组 AX=0，由系数矩阵，得特征向量 3=(2，0，1) T 令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=-2由矩阵 A 的特征多项式E-A= =2-4-5，得 A 的特征值是 1=5， 2=-1它们亦是矩阵 B 的特征值 分别解齐次线性方程组(5E-A)x=0 ，(-E-A)x=0 ，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=-1 的特征向量依次为 1=(1，1) T， 2=(-2，1) T 解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0 ，可得到矩阵 B 的特征向量分别是 1=(-7，1) T， 2
22、=(-1，1)T 那么，令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 A= =B-E，而 r(B)=1，且有E-B= 3-62，所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0 故矩阵 A 的特征值是 5，-1，-1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，-5 ，-5 矩阵曰属于 =6 的特征向量是 1=(1， 1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(-1，1，0) T 和 3=(-1，0，1) T 因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =-5 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3不全为 0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由矩
23、阵 A 特征多项式知矩阵 A 的特征值为1=2=1， 3=-2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(E-A)=1而所以 x=6 当 =1 时，由(E-A)x=0 ，得基础解系 1=(-2，1，0) T， 2=(0，0，1) T 当 =-2 时，由 (-2E-A)x=0，得基础解系3=(-5，1，3) T令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 设 A*=，由 AA*=AE，有A=A，即由(3)-(1)，得 (a-2)=0由矩阵 A 可逆，知 A*可逆，那么特征值 0，所以 a=2 由(1)b-(2)，得 (b2+b-2)=0，因此 b=1 或 b=-2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另_特征值 因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 根据A(1， 2， 3)=(61，6 2，0)，因此 A=(61，6 2，0)( 1， 2，) -1=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
