1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1 一 ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“+2y“一 y一 2y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=03 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方
2、程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)二、填空题4 设 y=y(x)满足 y=yx+(x)且 y(0)=1，则 y(x)=_5 设 y1(x)，y 2(x)为 y+P(x)y=Q(x)的特解，又 py1(x)+2qy2(x)为 y+P(x)y=0 的解，py1(x)一 qy2(x)为 y+P(x)y=Q(x)的解，则 p=_，q=_6 设 y=y(x)满足 (1+x2)yxy 且 y(0)=1，则 y(x)=_7 设 y=
3、2e-x+exsinx 为 y“+py“+qy+ry=0 的特解，则该方程为_8 设 f(x)连续，且 则 f(x)=_9 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_ 10 设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)exy 满足 则 (u)=_11 连续函数 f(x)满足则 f(x)=_12 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且 其中 a是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求微分方程 y一 2xy=ex2 的满足初始条件 y(0)=1 的特解14 设位于第一象限的曲线 y=f(
4、x)上任一点 P(x，y)的切线在 x 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线15 求差分方程 yt+1+2yt=3的通解16 求微分方程 y“+y一 2y=(2x+1)ex 一 2 的通解17 设 f(x)连续，且 求 f(x)18 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(x0) 满足 的特解19 求微分方程 的通解20 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解21 设 x0 时，f(x)可导，且满足： 求 f(x)22 求微分方程 的满足初始条件 y(1)=0 的解23 求微分方程(yx 3)dx 一 2xdy=0 的通解24 求微分方程 y2d
5、x+(2xy+y2)dy=0 的通解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=一 2， 2=2 y“一4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x， y“一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2
6、=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2 一+1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y+y=0，选(A)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+p(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)一 2(x)+2(x)，选(C) 【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 由y=y x+(5x)得 解得 再由y(0)=1 得 C=1，故 y(x)=ex【知识模块】 常微分方程
7、与差分方程5 【正确答案】 由一阶线性微分方程解的结构性质得 【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 将原方程变量分离得 积分得 再由 y(0)=1 得【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为 1=一 1， 2,3=1i， 特征方程为(+1)( 一 1 一 i)( 一 1+i)=0，整理得 3 一 2+2=0， 所求方程为 y“一2y“+2y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 由 得 求导得 f(x)一 2f(x)=ex，解得 由 f(0)=1 得 C=2，故f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 常微分方程与差
8、分方程9 【正确答案】 通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 令 x+y=u，则 再由 (0)=1 得 C=1，故【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 由 得两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 取 x=0 得 f(0)=2，则 C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 由 得 或者 解得再由 y(0)=2，得 C=2，所以【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由一阶非齐次线性微分方程通解公式得 由 y(0)=1 得 C=1，故 y=
9、(x+1)ex2【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 切线为 Yy=y(Xx)，令 Y=0 得 法线为令 X=0 得 由题意得 解得令 代入得 变量分离得 积分得 x=1 时，u=0，C=0所以，所求曲线为【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 y t+1+2yt=0 的通解为 yt=C(一 2)t； 设方程 yt+1+2yt=3t 的特解为y*=a3t，代入得 故差分方程 yt+1+2yt=3t 的通解为 (C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0，特征值为 1=1， 2=一 2，令 y“+y一2y=(2
10、x+1)ex (1) y“+y一 2y=一 2 (2) 令(1)的特解为 y1=(ax2+bx)ex，代入(1)得显然(2)的一个特解为 y2=1， 故原方程通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 原方程两边求导得 再求导得 f“(x)一 4f(x)=ex， 解方程得 f(x)=C1e-2x+C2e2x 一ex， 由 f(0)=1，f(0)=1 得 故【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 原方程化为 通解为由 得 C=一 1，故特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 可写为 令 原方程化为变量分离得 积分得 ln(lnu 一 1)=ln|
11、x|+lnC，即lnu1=Cx，或 u=eCx+1， 故原方程的通解为 y=xe Cx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 方法一 令 y=p，则原方程化为 解得故方法二 xy“+2y=e x 两边乘以 x 得x2y“+2xy=xex，即(x 2y)=xex，积分得 x2y=(x 一 1)ex+C1，即再积分得原方程通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 由 得 两边对 x 求导得f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 因为 f(1)=1，所以 C=1，故 f(x)=lnx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 由 得 令则原方程化为 积分得 即将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 得即满足初始条件的特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 由(yx 2)dx 一 2xdy=0，得 则即原方程的通解为(其中 C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 由 y2dx+(2xy+y2)dy=0 得 所以原方程的通解为 y2(y+3x)=C【知识模块】 常微分方程与差分方程
