1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 15 及答案与解析一、填空题1 微分方程 2y“=3y2 满足初始条件 y(一 2)=1，y(一 2)=1 的特解为=_2 微分方程 的通解为_3 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_4 以 y=C1e-2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_5 设 y“一 3y+ay=一 5e-x 的特解形式为 Ax e-x，则其通解为_6 设 f(x)连续，且 则 f(x)=_7 差分方程 yx+1+2yx=5x2 的通解为_8 差分方程 y
2、x+1 一 yx=x2x 的通解为_9 差分方程 yt+1 一 yt=2t2+1 的特解形式为 yt*=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求微分方程 y“一 y一 6y=0 的通解11 求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解12 求微分方程 y“一 y+2y=0 的通解13 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2e-x 一 3e2x 为特解，求该微分方程14 求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解15 求 y“一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解16 求微分方程 y“+4y+4y=eax 的通解1
3、7 求微分方程 y“+y=x2+3+cosx 的通解18 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v|t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 并求到此时刻该质点所经过的路程19 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)20 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 求 L 的方程21 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的
4、法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行22 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 求全部融化需要的时间23 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x) ，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 15 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 令 y=p，则 则原方程化为 解得 p2=y3+C1
5、， 由y(一 2)=1，y(一 2)=1，得 C1=0，所以 从而有 再由 y(一2)=1，得 C1=0，所求特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 由 得 令 则解得 arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x2+3x+2 为特征方程 y“+y一12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+312(x2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19， 且通解为 y=C
6、1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数 )【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y一 2y=Q(x)，把 Y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 因为方程有特解 Axe-x，所以一 1 为特征值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0 a=一 4， 所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1=一 1， 2=4，齐次方
7、程 y“一3y+ay=0 的通解为 y=C 1e-x+C2e4x，再把 Axe-x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x+xe-x【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 由 得 整理得两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(c)=Ce-x，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e-x【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 y x+1+2yx=0 的通解为 y=C(一 2)x， 令 yx+1+2yx=5x2 的特解为 y0(x)=a0+a1x+a2x2，代入原方程整理得 3a 0+a1+a2+(3a1+2a2)x+3a2
8、x2=5x2，解得 于是 yx+1+2yx=5x2 的通解为 【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 y x+1 一 yx=0 的通解为 y=C(1)x=C，令 yx+1-yx=x2x 的特解为y0=(ax+b)2x， 代入原方程得 y0=(x 一 2)2x，原方程的通解为 y=C+(x 一 2)2x【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 p=1，f(t)=2t 2+1，故特解形式为 yt*=t(at2+bt+c)【知识模块】 常微分方程与差分方程二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 特征方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1=-2，
9、2=3，则原方程的通解为 y=C1e-2x+C2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，则原方程的通解为 y=(C 1+C2x)e-2x【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 则原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2e-x3e 2x 为特解，所以 e2x，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y
10、“一 y一 2y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，特征值为 1=1， 2=一 3，则 y“+2y一3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-3x令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得所以原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 原方程可化为 y“一 2y=e2x，特征方程为 2 一 2=0，特征值为1=0， 2=2，y“一 2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x设 y“一 2y=e2x 的特解为 y*=Axe2x，代入原方程得 A= 从而原方程的通解为 由 y(0)=1，y(0)=1得 解得
11、故所求的特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 则原方程的通解为(2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得 则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+ x2e-2x.【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=
12、i， 方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x2+1+ xsinx. 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+ xsinx【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 则有解此微分方程得 v(t)=v0e-t由 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 根据题意得 则有 两边求导得 即则有 解得【知识模块】
13、 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y(Xx) 令X=0，则 Y=yxy，故 A 点的坐标为(0，yxy) 由|MA|=|OA| ，得因为曲线经过点 所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 令 Y=0，得 X=x+yy，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 即 yy“=1+y2 令y=p，则 则有 或者 两边积分得 由 y(1)=1，y(1)=0 得 C1=0，所以 变量分离得两边积分得 由 y(1)=1 得 【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 令r=0 得 t=6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=ex 一 ax 由 得 a=3，因为所以当 a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=ex 一 3x【知识模块】 常微分方程与差分方程
